Question

На оси oz найти точку равноудалённую от точки m (1 -2 0) и от плоскости 3x-2y+6z-9

Answer 1

Для начала определим, что означает "точка равноудалённая от точки и от плоскости".

Точка P находится равноудалённой от точки M и от плоскости, если расстояние от точки P до точки M равно расстоянию от точки P до плоскости.

Итак, нам нужно найти точку на оси oz, которая будет равноудалена от точки M(1, -2, 0) и от плоскости 3x - 2y + 6z - 9 = 0.

Чтобы найти эту точку, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем расстояние между точками M и P

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве может быть найдено с использованием формулы:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты точек M и P соответственно.

Расстояние между M(1, -2, 0) и P(x, y, z) будет равно:

d₁ = √((x - 1)² + (y - (-2))² + (z - 0)²)

Шаг 2: Найдем расстояние между плоскостью и точкой P

Расстояние от точки до плоскости может быть найдено с использованием формулы:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²)

где A, B и C - коэффициенты плоскости (в данном случае 3, -2 и 6), D - свободный член плоскости (в данном случае -9), а x, y и z - координаты точки P.

Расстояние от плоскости 3x - 2y + 6z - 9 = 0 до точки P(x, y, z) будет равно:

d₂ = |3x - 2y + 6z - 9| / √(3² + (-2)² + 6²)

Шаг 3: Уравняем d₁ и d₂ и решим полученное уравнение для нахождения координат точки P

d₁ = d₂

√((x - 1)² + (y - (-2))² + (z - 0)²) = |3x - 2y + 6z - 9| / √(3² + (-2)² + 6²)

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x - 1)² + (y + 2)² + z² = ((3x - 2y + 6z - 9) / √49)²

((x - 1)² + (y + 2)² + z²)√49 = (3x - 2y + 6z - 9)²

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

(x² - 2x + 1 + y² + 4y + 4 + z²)√49 = (9x² + 4y² + 36z² + 6xy - 12xz - 36yz - 54x + 36y - 108z + 81)

9x² + 4y² + 36z² - 6xy + 12xz + 36yz + 54x - 36y + 108z - 81 - (x² - 2x + 1 + y² + 4y + 4 + z²)√49 = 0

8x² + 2y² + 35z² + 6xy - 12xz - 36yz + 56x - 40y + 109z - 80 = 0

Шаг 4: Подставим z = 0 и решим полученное уравнение

Используем z = 0 в уравнении:

8x² + 2y² + 35(0) + 6xy - 12x(0) - 36y(0) + 56x - 40y + 109(0) - 80 = 0

Упростим и решим полученное уравнение:

8x² + 2y² + 6xy + 56x - 40y - 80 = 0

Это будет уравнение параболы или эллипса на плоскости xy.

Далее продолжаем искать решение.