5. логическое выражение, являющееся истинным при любом наборе входящих в него переменных, называется тождественно истинным. убедитесь, что следующие логические выражения являются тождественно истинными:
1) a-> (b-> a)
_ _
2)(a-> b)-> (b-> a)
3)(a& c-> b)-> (c-> (avb-> b& c)
1) Давай начнем с первого выражения: a -> (b -> a).
Для доказательства, что данное выражение является тождественно истинным, нам нужно рассмотреть все возможные наборы значений переменных a и b и показать, что в каждом случае выражение будет истинным.
Рассмотрим таблицу истинности для данного выражения:
| a | b | a -> (b->a) |
|---|---|-------------|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Как мы видим в таблице, в любом случае, когда a равно 0 или 1, и b равно 0 или 1, выражение a -> (b -> a) будет истинным. Это означает, что данное выражение является тождественно истинным.
Пошаговое решение:
1) Подставим значения переменных a и b в выражение: a -> (b -> a)
2) Проверим значения выражения для всех возможных комбинаций значений a и b, используя таблицу истинности.
Теперь перейдем ко второму выражению: (a -> b) -> (b -> a).
Для доказательства, что данное выражение является тождественно истинным, нам снова нужно рассмотреть все возможные наборы значений переменных a и b и показать, что в каждом случае выражение будет истинным.
Рассмотрим таблицу истинности для данного выражения:
| a | b | (a -> b) -> (b -> a) |
|---|---|-----------------------|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Как мы видим в таблице, в любом случае, когда a равно 0 или 1, и b равно 0 или 1, выражение (a -> b) -> (b -> a) будет истинным. Это означает, что данное выражение также является тождественно истинным.
Давай теперь рассмотрим третье выражение: (a & c -> b) -> (c -> (a v b -> b & c)).
Также, чтобы доказать, что данное выражение является тождественно истинным, нам нужно рассмотреть все возможные наборы значений переменных a, b и c и показать, что в каждом случае выражение будет истинным.
Рассмотрим таблицу истинности для данного выражения:
| a | b | c | (a & c -> b) -> (c -> (a v b -> b & c)) |
|---|---|---|----------------------------------------|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Как мы видим в таблице, в любом случае, когда a равно 0 или 1, b равно 0 или 1, и c равно 0 или 1, выражение (a & c -> b) -> (c -> (a v b -> b & c)) будет истинным. Следовательно, данное выражение также является тождественно истинным.
Вот, мы рассмотрели все три логических выражения и убедились, что каждое из них является тождественно истинным.