Question

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) V (¬(x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) →(x ∈ A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

Answer 1

Добрый день! Я буду рад выступить в роли вашего школьного учителя.
Для решения данной задачи мы будем использовать логические операции и замену значений переменной х.

Давайте разберем выражение по частям.

1. ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) - это отрицание утверждения "x принадлежит множеству {2, 4, 6, 8, 10, 12}".

2. ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) - это отрицание утверждения "x принадлежит множеству {3, 6, 9, 12, 15}".

3. (¬(x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) →(x ∈ A)) - это импликация "если x не принадлежит множеству {3, 6, 9, 12, 15}, то x принадлежит множеству A".

Теперь рассмотрим возможные значения переменной х.

1. Для того, чтобы ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) было истинно при любом значении переменной х, нужно, чтобы x не принадлежал множеству {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Это значит, что x может быть любым натуральным числом, кроме 2, 4, 6, 8, 10 и 12.

2. Для того, чтобы ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) было истинно при любом значении переменной х, нужно, чтобы x не принадлежал множеству {3, 6, 9, 12, 15}. Исходя из этого, мы можем сказать, что x может быть любым натуральным числом, кроме 3, 6, 9, 12 и 15.

3. Теперь рассмотрим импликацию (¬(x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) →(x ∈ A)). Если "если x не принадлежит множеству {3, 6, 9, 12, 15}, то x принадлежит множеству A" истинно для случая, когда x не принадлежит множеству {3, 6, 9, 12, 15}, то это значит, что все натуральные числа, кроме 3, 6, 9, 12 и 15, должны принадлежать множеству A.

Исходя из этого, наименьшее возможное значение произведения элементов множества A будет равно произведению всех натуральных чисел, кроме 3, 6, 9, 12 и 15. Это произведение можно записать в виде:

1 * 2 * 4 * 5 * 7 * 8 * 10 * 11 * 13 * 14 * 16 * ...

Наименьшее значение этого произведения равно бесконечности, так как мы удалили из него лишь конечное множество чисел и оставили все другие натуральные числа.

Таким образом, наименьшее возможное значение произведения элементов множества A - это бесконечность.