Трехразрядное число содержит вторую степень основания. Это дает возможность сделать оценку верхнего значения основания системы счисления. 9² < √(73) < 8², поэтому система счисления не может иметь основание, большее 8. Четырехразрядное число содержит третью степень основания. Это дает возможность сделать оценку нижнего значения основания системы счисления. 5³ < ∛(73) < 4³, поэтому система счисления не может иметь основание, меньшее 5. Итак, у нас четыре претендента: натуральное n∈[5;8]
Для системы счисления по основанию n получаем уравнение an²+bn+c=73
Для n=8 получим 64a+8b+c=73; a,b,c<8 Понятно, что a=1, тогда 8b+c=9. И тут понятно, что b=1 и тогда с=1. Проверим. 111₈ = 1×8²+1×8+1=64+8+1=73
Нет смысла проверять n=7 и т.д., поскольку нам нужно наибольшее возможное основание.
Это дает возможность сделать оценку верхнего значения основания системы счисления.
9² < √(73) < 8², поэтому система счисления не может иметь основание, большее 8.
Четырехразрядное число содержит третью степень основания. Это дает возможность сделать оценку нижнего значения основания системы счисления.
5³ < ∛(73) < 4³, поэтому система счисления не может иметь основание, меньшее 5.
Итак, у нас четыре претендента: натуральное n∈[5;8]
Для системы счисления по основанию n получаем уравнение
an²+bn+c=73
Для n=8 получим 64a+8b+c=73; a,b,c<8
Понятно, что a=1, тогда 8b+c=9. И тут понятно, что b=1 и тогда с=1.
Проверим. 111₈ = 1×8²+1×8+1=64+8+1=73
Нет смысла проверять n=7 и т.д., поскольку нам нужно наибольшее возможное основание.
ответ: 8