Question

Вы разрабатываете социальную сеть. в данный момент вы работаете над алгоритмом, который рекомендует пользователям новых друзей на основе того, с кем они уже дружат. 29 ! у вас есть три пользователя: виталий, андрей и павел, которые не дружат друг с другом. известно, что у виталия и андрея 50 общих друзей, у андрея и павла 91 общих друзей, а у павла и виталия 56 общих друзей. известно также, что всего у виталия 90 друзей, у павла 132 друзей, а у андрея 121 друзей. каково минимальное количество пользователей соцсети, которые дружат и с павлом, и с виталием, и с андреем?

Answer 1

Перепишем условие. Обозначим множество друзей Виталия через V, Андрея - A, Павла - P, тогда:
$|V|=90\\ |P|=132\\ |A|=121\\ |A \cap V|=50\\ |A\cap P|=91\\ |P\cap V|=56 \\ |A\cap V \cap P| = ?$
Используя формулу включения-исключения для трех множеств:
$|A\cup V \cup P| = |A| + |V| + |P| - |A \cap V| - |A\cap P| -|P\cap V|+\\+ |A\cap V \cap P|\\\\$
Очевидно, что $|A\cap V \cap P|$ будет минимальным, когда $|A\cup V \cup P|$ будет максимальным, а это возможно только, когда $|A\cup V \cup P| = |A| + |V| + |P|$
$90+132+121=90+132+121-50-91-56+x \Rightarrow x=197$