Question

Кто в инфе шарит обозначим через дел(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». для какого наибольшего натурального числа а формула дел(x, 18) --> (дел(x,54) --> дел(x, a)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Answer 1

Что мы знаем про число x? То, что оно делится на 18 и 54. Значит, что оно делится на их множители, но особым который я сейчас объясню. Итак, число А делиться на число В, если в В есть все множители, которые есть в А, причем в том же количестве. Это понятно. Теперь возьмем наш случай. 18=2*3*3, 54=2*3*3*3. Это значит, что число х делиться на 2 и на 3. И более не на какие простые числа, теперь попробуем собрать максимальное число. Заметим, что число 18 нам вообще не понадобиться, так как оно является делителем 54. Значит, это число 54. Докажем это. Заметим, что любое число представимо в виде простых чисел. Отсюда следует, что x=2*3*3*3*m1*m2*...*mn. Заметим, что m вообще не может быть и x=54. Простые числа не представляются в виде других простых чисел, даже если взять их все. Значит, x только так и представимо, как я показал ранее. Значит, мы можем утверждать только о известных множителях, иначе можно нарваться на такой случай, когда их нет. Таким образом мы доказали, что это число 54.