Матрицы не очень сложны для понимания и использования. Более того, они нужны для написания быстрых преобразований и очень полезны для представления математических операций в компактной форме.
Матрица - это множество чисел, сгруппированных в колонки и столбцы. Здесь изображены две матрицы: Матрица А и Матрица В.
56_1.gif (1163 b)
Матрица А - это матрица 2х3 (то есть у нее две строки и три столбца), тогда как матрица В - это матрица 3х3. Мы можем получить доступ к элементу матрицы А, используя запись А[m,n], где m - это строка, а n - столбец. Элемент в верхнем углу матрицы А будет обозначаться А[0,0] и он равен единице.
Произведение операций над матрицами
Вы можете производить большинство операций над матрицами так же, как Вы оперируете и с нормальными числами. Например, Вы можете их складывать или вычитать, соответственно складывая или вычитая каждый из компонентов.
Для примера, рассмотрим сложение двух матриц размерностью 2х3 - матрицы А и матрицы С:
56_2.gif (650 b)
При сложении матриц А и С нужно складывать каждый из элементов m, n. Суммы элементов займут в результирующей матрице соответствующие места:
56_3.gif (896 b)
Мы также можем умножить матрицу на скаляр k. Например, чтобы умножить матрицу А на 3, мы должны умножить на 3 каждый ее элемент.
56_4.gif (725 b)
Теперь поговорим об умножении двух матриц. Эта операция немного отличается от умножения на скалярную величину. Вы должны запомнить несколько правил:
Количество столбцов в первой матрице (n) должно быть равно количеству строк во второй (также n). Это значит, что если размерность первой матрицы (m x n), то размерность второй матрицы должна быть (n x r). Два остальных измерения m и к могут быть любыми.
Произведение матриц не коммутативно, то есть А х В не равно В х А.
Умножение матрицы m x n на матрицу n x r может быть описано алгоритмически следующим образом:
Для каждой строки первой матрицы:
Умножить строку на столбец другой матрицы поэлементно. Сложить полученный результат;
Поместить результат в позицию [i,j] результирующей матрицы, где i - это строка первой матрицы, а j - столбец второй матрицы.
Для простоты посмотрите на рисунок:
56_5.gif (4629 b)
Мы можем это сделать намного проще, написав программу на Си. Давайте определим матрицу 3х3 и напишем функцию, умножающую матрицы. Ниже показан исходный код:
// общая структура матрицы
typedef struct matrix_typ
{
float elem[3][3]; // место для хранения матрицы
} matrix, *matrix_ptr;
void Mat_Mult3x3(matrix_ptr matrix_1, matrix_ptr matrix_2,
matrix_ptr result)
{
index i, j, k;
for(i=0; i < 3; j++)
{
for(j=0; j < 3; j++)
{
result[i][j] = 0; // инициализация элемента
for(k = 0; k < 3; k++)
{
result->elem[i][j] += matrix_1->elem[i][k]
* matrix_2->elem[k][j];
} // конец цикла по k
} // конец цикла по j
} // конец цикла по i
} // конец функции
Единичная матрица
Прежде чем закончить говорить о матрицах, скажем еще об одной вещи: о единичной матрице. Не углубляясь в математические термины, я хочу сказать, что нам нужна такая матрица, умножая на которую мы получали бы исходную матрицу.
Говоря попросту, нам нужно иметь матрицу размерностью
21 путь.
Объяснение:
Для задач такого вида используются довольно универсальные решения. Для города Х вводится характеристика Nх - количество различных путей из города А в город Х. На картинке, например, Nа = 1 (так как единственный попасть в город А из города А - это оставаться в нем), Nб = 1 (единственный попасть из города А в город Б - по прямому пути), аналогично для города Д. В город Г же можно попасть как из города А, так и из города Б, Nг будет равен сумме Nа + Nб. В город Ж можно попасть из городов В, Г и Е, поэтому его Nж будет равен Nв + Nг + Nе.
Давайте найдем количество попасть в каждый город из города А. Для этого начнем идти из города А во все "соседние" города, для которых мы уже можем назвать это количество по принципу, описанному абзацем выше:
Nа = 1
Nб = Nа = 1
Nг = Nа + Nб = 1 + 1 = 2
Nд = Nа = 1
Nе = Nг + Nд = 2 + 1 = 3
...
Мы узнали количество различных путей из города А в город Е. Теперь по аналогии будем искать количество путей из города Е в город П. Чтобы не путаться, введем новую характеристику, например, Cx - количество различных путей из города Е в город X.
Cе = 1
Cж = Cе = 1
Cк = Cж = 1
Cн = Cж = 1
Cм = Cж + Cн = 1 + 1 = 2
Cл = Cж + Cк + Cм = 1 + 1 + 2 = 4
Сп = Cк + Cл + Cм = 1 + 4 + 2 = 7
3 путя из города А в город Е и 7 путей из города Е в город П. Чтобы найти итоговое количество путей, нужно перемножить эти два числа (как бы комбинации каждого путя А->Е с каждым путем Е->П): 3 * 7 = 21.
