Дано: точка a(2; 0) , прямая x = 4,5 и число e = 2/3 . необходимо составить уравнение места точек, отношения расстояний которых к данной точке ( ха,уа ) и к данной прямой x = d равняется e = 2/3 . определить тип полученной кривой, ее фокусы, эксцентриситет и уравнение асимптот, построить график.
Нам дана точка a(2; 0), прямая x = 4,5 и число e = 2/3. Мы должны составить уравнение места точек, отношение расстояний которых к данной точке (ха, уа) и к данной прямой x = d равняется e = 2/3.
Пусть точка (x, y) принадлежит искомой кривой. Тогда расстояние от этой точки до точки a(2; 0) можно выразить по формуле:
r1 = √((x - 2)^2 + (y - 0)^2) (1)
Расстояние от точки (x, y) до прямой x = 4,5 можно выразить по формуле:
r2 = |x - 4,5| (2)
Теперь, учитывая условие задачи, что отношение расстояний r1 и r2 к точке a(2; 0) равно e(2/3), мы можем составить уравнение:
r1/r2 = e
Подставляя выражения (1) и (2) в уравнение, получим:
√((x - 2)^2 + y^2) / |x - 4,5| = 2/3
Теперь проведем несколько шагов для приведения данного уравнения к более удобному виду.
Попробуем убрать знак модуля в знаменателе.
|a/b| = |a| / |b|
Тогда уравнение примет вид:
√((x - 2)^2 + y^2) / (x - 4,5) = 2/3
Теперь для упрощения формулы введем новое обозначение:
(x - 2)^2 + y^2 = (2/3)^2 * (x - 4,5)^2
Раскроем скобки:
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4/9 * (x^2 - 9x + 20,25)
Уберем дроби и приведем подобные слагаемые:
9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 - 36x + 90
Распространяем умножение:
9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 - 36x + 90
Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
5x^2 + 9y^2 - 54 = 0
Таким образом, мы получили уравнение места точек:
5x^2 + 9y^2 - 54 = 0
Чтобы определить тип полученной кривой, посмотрим на коэффициенты при x^2 и y^2:
Если оба коэффициента положительны, то кривая будет эллипсом.
Если один из коэффициентов равен нулю, то это будет парабола или гипербола.
В нашем случае оба коэффициента положительны, поэтому полученная кривая является эллипсом.
Для того чтобы узнать фокусы и эксцентриситет, нужно найти полуоси эллипса. Для этого воспользуемся формулой:
a^2 = r1^2 / (1 - e^2)
где a - большая полуось, r1 - расстояние от фокуса до точки на эллипсе, e - эксцентриситет.
Зная, что f1 и f2 - фокусы эллипса, полное расстояние от фокусов до начала координат равно 2a, можем найти фокусы:
f1 и f2 = (-c, 0) и (c, 0), где c = sqrt(a^2 - b^2)
Таким образом, нам осталось найти a, b и c. Положительное значение a равно полуоси эллипса, а |b| - меньшей полуоси.
Для нахождения полуосей эллипса a и b, нужно найти значения r1 когда y равно нулю (так как прямая x = 4,5).
Подставляем y = 0 в уравнение:
r1^2 / (1 - e^2) = (x - 2)^2 / (1 - (2/3)^2)
Учитывая, что x = 4,5, получим:
r1^2 / (1 - e^2) = (4,5 - 2)^2 / (1 - (2/3)^2)
Упрощаем:
r1^2 / (1 - e^2) = (2,5)^2 / (1 - 4/9)
Далее:
r1^2 / (1 - e^2) = 2,5^2 / (5/9)
r1^2 / (1 - e^2) = 2,5^2 * (9/5)
r1^2 / (1 - e^2) = 2,25
В результате получаем:
r1^2 = 2,25 * (1 - e^2)
Учитывая, что e = 2/3:
r1^2 = 2,25 * (1 - (2/3)^2)
r1^2 = 2,25 * (1 - 4/9)
r1^2 = 2,25 * (5/9)
r1^2 = 1,25
В итоге, r1 = sqrt(1,25) = 1,118
Зная r1, обратимся к формуле a^2 = r1^2 / (1 - e^2):
a^2 = 1,118^2 / (1 - (2/3)^2)
a^2 = 1,25 / (1 - 4/9)
a^2 = 1,25 / (5/9)
a^2 = 1,125 / (5/9)
a^2 = 2,025
Таким образом, a = sqrt(2,025) = 1,42
Теперь найдем b:
b^2 = a^2 - c^2
c^2 = a^2 - b^2
c^2 = 2,025 - b^2
Зная, что c^2 = r1^2 - (a/2)^2:
r1^2 - (a/2)^2 = 2,025 - b^2
1,118^2 - (1,42/2)^2 = 2,025 - b^2
Упрощаем:
1,25 - (1,42/2)^2 = 2,025 - b^2
1,25 - 0,71^2 = 2,025 - b^2
1,25 - 0,5041 = 2,025 - b^2
0,7459 = 2,025 - b^2
b^2 = 2,025 - 0,7459
b^2 = 1,2791
Таким образом, b = sqrt(1,2791) = 1,13
Найдем значение c:
c^2 = a^2 - b^2
c^2 = 2,025 - 1,2791
c^2 = 0,7459
Тогда c = sqrt(0,7459) = 0,864
Таким образом, большая полуось a = 1,42, меньшая полуось b = 1,13, фокусы f1 и f2 = (-0,864, 0) и (0,864, 0), эксцентриситет e = c/a = 0,864/1,42 = 0,608.
Чтобы найти уравнение асимптот, воспользуемся формулами:
y = ± (b/a) * x
y = ± (1,13/1,42) * x
y = ± 0,796 * x
Теперь построим график.
На координатной плоскости строим оси x и y.
Отмечаем точку a(2, 0).
Строим прямую x = 4,5.
Рисуем эллипс, так, чтобы расстояние от фокусов f1 и f2 до любой точки на эллипсе было константным и равным 1,118.
Рисуем оси симметрии, то есть прямые, проходящие через фокусы и центр эллипса.
Рисуем асимптоты, то есть прямые, проходящие через центр эллипса и параллельные осям симметрии.
График будет выглядеть как эллипс, с фокусами, центром в точке (0, 0), большой полуосью a = 1,42, малой полуосью b = 1,13, эксцентриситетом e = 0,608, и асимптотами уравнениями y = ± 0,796 * x.
Надеюсь, это решение было доходчивым и полезным для вашего понимания данной задачи. Если у вас останутся вопросы, не стесняйтесь задавать их!