Question

Знайти інтервал зростання та спадання функції
f(x) = (x^2 + 2x)/4x-1​

Answer 1

ответ: Увеличение на: $(-\infty, -\frac{1}{2}), (1, \infty)$

Убывает на: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}), (\frac{1}{4}, 1)$.

Пошаговое объяснение: Найдем производную.

$\frac{4x^2-2x-2}{(4x-1)^2}$

Приравняем производную к 0.

$\frac{4x^2-2x-2}{(4x-1)^2}=0$

Решим относительно x.

Упростим числитель.

$\frac{2(x-1)(2x+1)}{(4x-1)^2}=0$

Найдем НОЗ членов уравнения.

$(4x-1)^2$

Умножим каждый член на $(4x-1)^2$ и упростим.

$4x^2-2x-2=0$

Решим уравнение.

Разлагаем на множители левую часть уравнения.

$2(x-1)(2x+1)=0$

Разделим обе части уравнения на 2. Результат деления 0 на любое ненулевое значение равен 0.

$(x-1)(2x+1)=0$

Приравняем x-1 к 0, затем решим относительно x.

$x=1$

Приравняем 2x+1 к 0, затем решим относительно x.

$x=-\frac{1}{2}$

Решение является результатом x-1=0 и 2x+1=0.

$x=1; -\frac{1}{2}$

Значения, которые обращают производную в 0 - 1, $-\frac{1}{2}$.

1, $-\frac{1}{2}$.

Выясним, при каких значениях переменной функция $\frac{4x^2-2x-2}{(4x-1)^2}$ не определена.

$x=\frac{1}{4}$

Разобьем $(-\infty, \infty)$ на интервалы вокруг значений x, в которых производная равна 0 или не определена.

$(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1) \cup (1, \infty)$

Подставим значение из интервала $(-\infty, -\frac{1}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает или убывает функция.

Увеличение на $(-\infty, -\frac{1}{2})$, так как $f'(x)0$.

Подставим значение из интервала $(-0.5, \frac{1}{4})$ в производную, чтобы определить, возрастает или убывает функция.

Убывает на $(-\frac{1}{2},\frac{1}{4} )$, поскольку $f'(x)$

Подставим значение из интервала (0.25, 1) в производную, чтобы определить, возрастает или убывает функция.

Убывает на $(\frac{1}{4}, 1)$, поскольку $f'(x)$

Подставим значения из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает или убывает функция.

Увеличение на $(1, \infty)$, так как $f'(x)0$.

Перечислим промежутки, на которых функция возрастает и убывает.

Увеличение на: $(-\infty, -\frac{1}{2}), (1, \infty)$

Убывает на: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}), (\frac{1}{4}, 1)$