Question

Записати рівняння кола , центр якого знаходиться в точці с(1; -1) і пряма 5х-12у+9=0 є дотичною кола.

Answer 1

Пусть уравнение окружности имеет вид $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$, по условию, центр окружности имеет координаты (1;-1), подставляем

$(x-1)^2+(y+1)^2=R^2$          (1)

Из уравнения прямой получим $y=\dfrac{5}{12}x+\dfrac{9}{12}$.

Подставляем в уравнение (1), получим

$(x-1)^2+\left(\dfrac{5}{12}x+\dfrac{9}{12}+1\right)^2=R^2\\ \\ \dfrac{169}{144}x^2-\dfrac{13}{24}x+4.0625-R^2=0$

Прямая 5x - 12 y + 9 = 0 и окружность имеют одну общую точку. Поэтому дискриминант последнего квадратного уравнения нужно приравнять к нулю (имеет один корень).

$\left(-\dfrac{13}{24}\right)^2-4\cdot\dfrac{169}{144}\Big(4.0625-R^2\Big)=0~~~~\Bigg|\cdot 24^2\\ \\ 169+16\cdot169(4.0625-R^2)=0\\ \\ 169(1+65-16R^2)=0\\ \\ 64-16R^2=0~~~|:16\\ \\ 4-R^2=0\\ \\ R^2=4\\ \\ R=\pm2$

Отрицательное значение R = -2 нам не нужен. Подходит R = 2.

Искомое уравнение окружности: $(x-1)^2+(y+1)^2=4$