Question

Разложить на бином ньютона
(1+√2)^5
 

Answer 1

Чтобы разложить на бином Ньютона выражение (1+√2)^5, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула выглядит следующим образом:

(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n,

где C(n,k) обозначает сочетания из n по k, равное n!/(k!(n-k)!).

Теперь применим эту формулу к нашему выражению:

(1+√2)^5 = C(5,0) * 1^5 * (√2)^0 + C(5,1) * 1^4 * (√2)^1 + C(5,2) * 1^3 * (√2)^2 + C(5,3) * 1^2 * (√2)^3 + C(5,4) * 1^1 * (√2)^4 + C(5,5) * 1^0 * (√2)^5.

Теперь нужно посчитать значения сочетаний и простые степени:

C(5,0) = 1,
C(5,1) = 5,
C(5,2) = 10,
C(5,3) = 10,
C(5,4) = 5,
C(5,5) = 1,

1^5 = 1,
1^4 = 1,
1^3 = 1,
1^2 = 1,
1^1 = 1,
1^0 = 1,

(√2)^0 = 1,
(√2)^1 = √2,
(√2)^2 = 2,
(√2)^3 = 2√2,
(√2)^4 = 4,
(√2)^5 = 4√2.

Теперь можем упростить выражение:

(1+√2)^5 = 1 * 1 * 1 + 5 * 1 * √2 + 10 * 1 * 2 + 10 * 1 * 2√2 + 5 * 1 * 4 + 1 * 1 * 4√2.

(1+√2)^5 = 1 + 5√2 + 20 + 20√2 + 20 + 4√2.

(1+√2)^5 = 41 + 29√2.

Итак, ответом на вопрос будет выражение 41 + 29√2.