Question

Исследовать функцию y=x^4-x^2+2 и построить её график. )

Answer 1

Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)

Функция  является четной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, -x⁴+4x²=0, -x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. Значит (0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.

Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2  критические точки.

Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.

 х =             -1.5  -1.41  -1  -0.5    0   0.5     1  1.41    1.5

y '=-4x³+8x   1.5     0     -4   -3.5   0   3.5     4     0      -1.5

В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,

в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум.

   7.

Вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8 = 0,-4(3x²-2) = 0.

x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5

y''=-12x²+8    -19   0    -4    -4     0     -19

Отсюда имеем 2 точки перегиба:

х₁ = √(2/3),

х₂ = -√(2/3).

8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.

x=                 -1   -0.817  -0.5   0.5     0.817     1

y''=-12x²+8    -4       0        5      5           0      -4.

Функция вогнутая на промежутках

[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)

9. График функции приведен в приложении.

Подробнее - на -