Question

По формуле грина вычислить криволинейный интеграл ∫xsinydx + x^(2)dy, взятый по l замкнутому контуру l: у=х^2, у=2, х=0 (х≥0).

Answer 1

Для решения данной задачи нам необходимо применить формулу Грина для вычисления криволинейного интеграла. Формула имеет вид:

∫∫(Pdx + Qdy) = ∮(Pdx + Qdy),

где P и Q - компоненты векторного поля F(x, y).

В нашем случае P = xsiny, Q = x^2 и контур l определяется уравнениями у = x^2, у = 2 и x = 0.

Перейдем к вычислению интеграла:

∫xsinydx + x^2dy = ∮(xsinydx + x^2dy).

Для данного интеграла необходимо выбрать параметризацию кривой l. Обратимся к уравнению кривой: у = x^2.

Введем параметр t = x, тогда у = t^2. Дифференцируя это уравнение по переменной t, получим dx = dt.

Зная параметризацию кривой, можем записать:

∮(xsinydx + x^2dy) = ∮(tsinydt + t^2dy) = ∮(tsinydt + t^2(2dy/dt)dt).

Обратите внимание, что мы заменили dy на (2dy/dt)dt, учитывая изначальное уравнение кривой у = t^2.

Таким образом, интеграл принимает вид:

∮(tsinydt + t^2(2dy/dt)dt) = ∮(tsiny + 2t^2dy/dt)dt.

Далее, используем формулу Грина:

∮(tsiny + 2t^2dy/dt)dt = ∬(∂(2t^2)/∂t - ∂(tsiny)/∂y)dA

где dA - элемент площади, который равен dxdy.

Необходимо вычислить частные производные:

∂(2t^2)/∂t = 4t,

∂(tsiny)/∂y = sin(y) = sin(t^2).

Таким образом, интеграл примет вид:

∬(∂(2t^2)/∂t - ∂(tsiny)/∂y)dA = ∬(4t - sin(t^2))dA.

Осталось определить границы интегрирования. У нас задан замкнутый контур, поэтому нам нужно учесть все границы контура l.

Границы нашего контура l заданы соотношениями у = x^2, у = 2 и x = 0. Перейдем к параметризации с помощью t: t^2 = y, у = 2, x = 0.

Подставляя границы, получим:

t^2 = y, t = 2, t = 0.

Теперь мы готовы для вычисления интеграла:

∬(4t - sin(t^2))dA = ∫[0,2]∫[0,t^2](4t - sin(t^2))dxdy.

Интегрируем по x:

∫[0,2](4t - sin(t^2))y|_[0,t^2]dy.

Выполняем подстановку границ:

∫[0,2](4t - sin(t^2))(t^2 - 0)dy = ∫[0,2](4t^3 - t^2sin(t^2))dy.

Интегрируем по y:

∫[0,2](4t^3 - t^2sin(t^2))y|_[0,2] = ∫[0,2](4t^3 - t^2sin(t^2))(2 - 0)dt.

Выполняем подстановку границ:

∫[0,2](4t^3 - t^2sin(t^2))(2 - 0)dt = ∫[0,2](8t^3 - 2t^2sin(t^2))dt.

Теперь производим вычисления:

∫[0,2](8t^3 - 2t^2sin(t^2))dt = 2t^4 - (2/3)sin(t^2)|_[0,2].

Подставляем границы:

2(2^4) - (2/3)sin(2^2) - 2(0^4) + (2/3)sin(0^2).

Выполняем вычисления:

32 - (2/3)sin(4) - 0 + 0 = 32 - (2/3)sin(4).

Таким образом, криволинейный интеграл ∫xsinydx + x^2dy, взятый по замкнутому контуру l: у=х^2, у=2, х=0 равен 32 - (2/3)sin(4).