Question

Решение , однородные дифференциальные уравнения

Answer 1

Перепишем уравнение так: $4x+4u=y'(4x-y)$

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для него осуществляется замена $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$

$4x+4ux=(u'x+u)(4x-ux)\\ \\ x=0;~~~ 4+4u=(u'x+u)(4-u)\\ \\ 4+4u=4u'x+4u-u'ux-u^2\\ \\ u'x(4-u)=u^2+4$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2+4}{x(4-u)}~~~~\Rightarrow~~~~\dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\\\ \\ \int \dfrac{4du}{u^2+4}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(u^2+4)}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ 4\cdot \dfrac{1}{2}{\rm arctg}\, \dfrac{u}{2}-\dfrac{1}{2}\ln \big|u^2+4\big|=\ln |x|+C$

Выполнив обратную замену получим

$2{\rm arctg}\, \dfrac{y}{2x}-\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{y^2}{x^2}+4\bigg|=\ln |x|+C$ — общий интеграл