В городе была сделана цветочная клумба, образованная из квадрата и четырёх полукругов.
Площадь клумбы приблизительно равна 490 м².
Сколько метров декоративного забора необходимо вокруг клумбы? В расчётах использовано округлённое значение π≈3.
1. Какова длина стороны квадрата?
м.
2. Какова длина радиуса полукругов?
м.
3. Какова длина декоративного забора?
м.
1. Для начала найдем площадь квадрата в клумбе. Поскольку клумба образована из квадрата и четырех полукругов, мы можем сказать, что площадь квадрата равна площади клумбы минус сумма площадей полукругов. Таким образом, площадь квадрата равна 490 м² минус площадь одного полукруга, который равен половине площади круга, а площадь круга равна π * радиус².
Пусть длина стороны квадрата будет "а". Тогда площадь квадрата равна а², и мы можем записать уравнение:
а² = 490 м² - (π * (а/2)²).
Здесь мы используем округленное значение π≈3. Возведя а/2 в квадрат, мы получим (а/2)² = (а^2)/4.
Теперь заменим в уравнении площади квадрата и площади полукруга наши значения, чтобы получить:
а² = 490 - (3 * (а^2)/4).
Раскроем скобки:
а² = 490 - (3а²/4).
Для решения этого уравнения, сначала уберем дробь, умножив обе части на 4:
4а² = 1960 - 3а².
Затем сложим оба члена уравнения:
4а² + 3а² = 1960.
7а² = 1960.
Теперь разделим обе части уравнения на 7:
а² = 280.
Чтобы найти длину стороны квадрата, возьмем квадратный корень обеих сторон:
а = √280.
Таким образом, ответ на первый вопрос: длина стороны квадрата равна √280 м.
2. Теперь рассмотрим полукружки. Мы знаем, что площадь одного полукруга равна половине площади круга, то есть π * радиус² / 2.
Давайте обозначим радиус полукруга как "r". Тогда площадь полукруга равна π * r² / 2.
Мы также знаем, что клумба состоит из 4 полукругов, поэтому общая площадь полукругов равна 4 * (π * r² / 2).
Из условия задачи мы знаем, что общая площадь клумбы равна 490 м² минус площадь квадрата. Таким образом, мы можем записать уравнение:
4 * (π * r² / 2) = 490 - а².
Мы выразили площадь квадрата а через его сторону, поэтому подставим в уравнение выражение для "а", полученное в первом пункте:
4 * (π * r² / 2) = 490 - (√280)².
Упростим:
2 * (π * r²) = 490 - 280.
2 * (π * r²) = 210.
Теперь выразим радиус "r" из этого уравнения:
π * r² = 210 / 2.
π * r² = 105.
r² = 105 / π.
r = √(105 / π).
Ответ на второй вопрос: длина радиуса полукругов равна √(105 / π) м.
3. Наконец, найдем длину декоративного забора, который нужно установить вокруг клумбы.
Длина декоративного забора будет равна периметру квадрата плюс сумма длин четырех полукругов. Периметр квадрата равен 4 * а, а длина дуги полукруга равна π * радиус.
Таким образом, длина декоративного забора будет равна 4 * а + 4 * (π * r).
Подставим значения а и r, которые мы нашли ранее:
4 * √280 + 4 * (π * √(105 / π)).
Упростим:
4 * √280 + 4 * √105.
Теперь можем приблизительно рассчитать эту сумму или оставить ответ в виде выражения, содержащего корни.
Ответ на третий вопрос: длина декоративного забора вокруг клумбы равна примерно 4 * √280 + 4 * √105 м.