Для решения данного уравнения суммы корней, нам нужно найти значения x, при которых уравнение выполняется в заданном промежутке [150°;220°].
Первым шагом я предлагаю составить уравнение в виде одной тригонометрической функции, чтобы сделать решение более удобным.
Используя формулу двойного угла sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), преобразуем данное уравнение:
10sin(3x)cos(3x) + sin(6x)cos(5x) = 0
Заменяем sin(6x) и cos(5x) по формуле двойного угла:
10sin(3x)cos(3x) + (2sin(3x)cos(3x))cos(3x) = 0
Упрощаем это уравнение:
10sin(3x)cos(3x) + 2sin(3x)cos²(3x) = 0
Факторизуем уравнение, выделяя общий множитель sin(3x):
sin(3x)(10cos(3x) + 2cos²(3x)) = 0
Теперь у нас есть два выражения в скобках, которые должны равняться нулю, чтобы весь многочлен обращался в нуль. Рассмотрим их по отдельности:
1) sin(3x) = 0
Так как sin(3x) = 0, значит 3x равно либо nπ, где n - целое число. Поскольку нам требуется решение уравнения в промежутке [150°;220°], найдем значения x в этом промежутке, удовлетворяющие условию:
3x = 180°
x = 60°
Проверим второе выражение:
2) 10cos(3x) + 2cos²(3x) = 0
Разделим всё уравнение на 2cos(3x):
5cos(3x) + cos²(3x) = 0
Факторизуем его:
cos(3x)(5 + cos(3x)) = 0
Исследуем каждое выражение:
а) cos(3x) = 0
Так как cos(3x) = 0, значит 3x равно либо π/2 + nπ, где n - целое число. Поскольку нам требуется решение уравнения в промежутке [150°;220°], найдем значения x в этом промежутке, удовлетворяющие условию:
3x = 180° + 90° = 270°
x = 90°
б) 5 + cos(3x) = 0
Выразим cos(3x):
cos(3x) = -5
Так как cos(3x) = -5, то такого значения не существует в области значений тригонометрических функций. Значит, нет корней второго уравнения.
Таким образом, сумма корней уравнения находится путем сложения найденных решений:
60° + 90° = 150°
Ответ: сумма корней уравнения, принадлежащих промежутку [150°;220°], равна 150°.
Первым шагом я предлагаю составить уравнение в виде одной тригонометрической функции, чтобы сделать решение более удобным.
Используя формулу двойного угла sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), преобразуем данное уравнение:
10sin(3x)cos(3x) + sin(6x)cos(5x) = 0
Заменяем sin(6x) и cos(5x) по формуле двойного угла:
10sin(3x)cos(3x) + (2sin(3x)cos(3x))cos(3x) = 0
Упрощаем это уравнение:
10sin(3x)cos(3x) + 2sin(3x)cos²(3x) = 0
Факторизуем уравнение, выделяя общий множитель sin(3x):
sin(3x)(10cos(3x) + 2cos²(3x)) = 0
Теперь у нас есть два выражения в скобках, которые должны равняться нулю, чтобы весь многочлен обращался в нуль. Рассмотрим их по отдельности:
1) sin(3x) = 0
Так как sin(3x) = 0, значит 3x равно либо nπ, где n - целое число. Поскольку нам требуется решение уравнения в промежутке [150°;220°], найдем значения x в этом промежутке, удовлетворяющие условию:
3x = 180°
x = 60°
Проверим второе выражение:
2) 10cos(3x) + 2cos²(3x) = 0
Разделим всё уравнение на 2cos(3x):
5cos(3x) + cos²(3x) = 0
Факторизуем его:
cos(3x)(5 + cos(3x)) = 0
Исследуем каждое выражение:
а) cos(3x) = 0
Так как cos(3x) = 0, значит 3x равно либо π/2 + nπ, где n - целое число. Поскольку нам требуется решение уравнения в промежутке [150°;220°], найдем значения x в этом промежутке, удовлетворяющие условию:
3x = 180° + 90° = 270°
x = 90°
б) 5 + cos(3x) = 0
Выразим cos(3x):
cos(3x) = -5
Так как cos(3x) = -5, то такого значения не существует в области значений тригонометрических функций. Значит, нет корней второго уравнения.
Таким образом, сумма корней уравнения находится путем сложения найденных решений:
60° + 90° = 150°
Ответ: сумма корней уравнения, принадлежащих промежутку [150°;220°], равна 150°.