ДАНО: Y = -x³ + 3*x
ИССЛЕДОВАТЬ.
1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х₁ = - √3 (-1,73), Х₂ = - 0, Х₃ = √3
Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).
3. Пересечение с осью У. У(0) = -0.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞ limY(+∞) = -∞
5. Исследование на чётность.Y(-x) = -Y(x),
Функция нечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² -3 = -3*(x-1)(x+1).
Корни при Х₁= +1, Х₂ = -1 Схема знаков производной.
(-∞)__(<0)__(-1)___(>0)___(+1)__(<0)_____(+∞)
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(+1)= 2 , минимум – Ymin(-1) = - 2.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает - Х∈(-∞;-1)∪(+1;+∞), возрастает - Х∈(-1;+1)
9. Вторая производная - Y"(x) = -6*x =0.
Корень производной - точка перегиба Х=0. Y"(0)= 0.
9. Выпуклая “горка» Х∈(0;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;0).
10. График в приложении.
x⁹⁹ + 2x¹⁹⁹ + 3x²⁹⁹ + ... + 20x¹⁹⁹⁹ + 21x²⁰⁰⁹ = 231
Так как степени x нечётные, а в правой части уравнения стоит
положительное число, то x > 0. Далее заметим, что сумма коэффициентов уравнения 1 + 2 + 3 + ... + 20 + 21 = 22*21/2 = 21*11 = 231.
Отсюда следует, что решению удовлетворяет только x = 1.
ответ: x = 1.