Question

Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора l.

u=x(lny-arctgz),l ⃗=8 i ⃗+4j ⃗+8k ⃗,M(-2,1,-1)

Answer 1

Для начала, нам необходимо найти производную скалярного поля u(x,y,z) по направлению вектора l. Чтобы это сделать, мы будем использовать градиент.

Градиент скалярного поля можно записать в виде:
∇u= ∂u/∂x * î + ∂u/∂y * ĵ + ∂u/∂z * k̂,

где ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z - частные производные скалярного поля u(x,y,z) по соответствующим переменным.

В нашем случае:
u(x,y,z) = x(lny-arctgz).

Найдем частные производные ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z:
∂u/∂x = lny - arctgz,
∂u/∂y = x/y,
∂u/∂z = -x/(1+z^2).

Теперь вычислим значения частных производных в точке M(-2,1,-1):
∂u/∂x = ln1 - arctg(-1) = 0 - (-π/4) = π/4,
∂u/∂y = -2/1 = -2,
∂u/∂z = -(-2)/(1+(-1)^2) = 2/2 = 1.

Таким образом, градиент скалярного поля u(x,y,z) в точке М(-2,1,-1) равен:
∇u = (∂u/∂x * î) + (∂u/∂y * ĵ) + (∂u/∂z * k̂)
= (π/4) * î - 2 * ĵ + k̂.

Теперь нам необходимо найти проекцию градиента ∇u на направление вектора l. Это можно сделать с помощью скалярного произведения:

∇u * l̂ = |∇u| * |l̂| * cosθ,

где |∇u| и |l̂| - модули векторов ∇u и l̂ соответственно, а θ - угол между ними.

Найдем модуль ∇u:
|∇u| = √((π/4)^2 + (-2)^2 + 1^2)
= √((π^2)/16 + 4 + 1)
= √(π^2/16 + 5)
= √(π^2 + 80)/4
= √(π^2 + 80)/4.

Найдем модуль вектора l:
|l̂| = √(8^2 + 4^2 + 8^2)
= √(64 + 16 + 64)
= √144
= 12.

Теперь нам необходимо найти косинус угла θ между векторами ∇u и l̂. Для этого мы воспользуемся формулой скалярного произведения:

∇u * l̂ = |∇u| * |l̂| * cosθ.

Расставим данные в уравнение и найдем cosθ:
(π/4) * 8 + (-2) * 4 + 1 * 8 = (√(π^2 + 80)/4) * 12 * cosθ.

Упростим уравнение:
2π + (-8) + 8 = (√(π^2 + 80) * 3 * cosθ)/2.

Теперь решим уравнение относительно cosθ:
12 = (√(π^2 + 80) * 3 * cosθ)/2.

Переместим все слагаемые на одну сторону:
(√(π^2 + 80) * 3 * cosθ)/2 = 12.

Умножим обе стороны на 2/3:
√(π^2 + 80) * cosθ = 8.

Разделим обе стороны на √(π^2 + 80):
cosθ = 8 / √(π^2 + 80).

Теперь найдем значение cosθ:
cosθ ≈ 0.8476.

Теперь мы можем найти проекцию градиента ∇u на направление вектора l:
∇u * l̂ = |∇u| * |l̂| * cosθ
= (√(π^2 + 80)/4) * 12 * 0.8476
≈ (0.898*√(π^2 + 80)).

Итак, производная скалярного поля u(x,y,z) в точке М(-2,1,-1) по направлению вектора l равна примерно 0.898*√(π^2 + 80).