Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без
поломок в течение определенного времени равна 0,9. Составить закон
распределения случайной величины Х – числа комбайнов, работавших
безотказно. Построить график распределения вероятностей. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины Х.
Заметим, что комбайн может работать безотказно или аварийно. Таким образом, количество комбайнов, работавших безотказно, может принимать значения от 0 до 4.
Построим таблицу, где первый столбец - это количество комбайнов, работавших безотказно (обозначим его как x), а второй столбец - вероятность, соответствующая данному значению:
x | P(X = x)
---------------
0 | p(аварийные)^4
1 | C(4, 1) * p(работают)^1 * p(аварийные)^3
2 | C(4, 2) * p(работают)^2 * p(аварийные)^2
3 | C(4, 3) * p(работают)^3 * p(аварийные)^1
4 | p(работают)^4
где p(работают) = 0,9 и p(аварийные) = 1 - p(работают) = 0,1. А C(n, k) - количество способов выбрать k элементов из n.
Подставляя значения, получаем:
x | P(X = x)
---------------
0 | 0,1^4
1 | C(4, 1) * 0,9^1 * 0,1^3
2 | C(4, 2) * 0,9^2 * 0,1^2
3 | C(4, 3) * 0,9^3 * 0,1^1
4 | 0,9^4
Выполним вычисления:
P(X = 0) = 0,1^4 = 0,0001
P(X = 1) = C(4, 1) * 0,9^1 * 0,1^3 = 4 * 0,9 * 0,1^3 = 0,0036
P(X = 2) = C(4, 2) * 0,9^2 * 0,1^2 = 6 * 0,9^2 * 0,1^2 = 0,0486
P(X = 3) = C(4, 3) * 0,9^3 * 0,1^1 = 4 * 0,9^3 * 0,1 = 0,2916
P(X = 4) = 0,9^4 = 0,6561
Построим график распределения вероятностей.
вероятность
|
| *
| ***
| *****
| *******
|__________________
0 1 2 3 4 x
Теперь найдем математическое ожидание (M), дисперсию (D) и среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины Х.
Математическое ожидание (M) вычисляется по формуле:
M = Σ(x * P(X = x))
где Σ - сумма по всем значениям х.
Выполним вычисления:
M = 0 * 0,0001 + 1 * 0,0036 + 2 * 0,0486 + 3 * 0,2916 + 4 * 0,6561 = 0 + 0,0036 + 0,0972 + 0,8748 + 2,6244 = 3,6
Таким образом, математическое ожидание случайной величины Х равно 3,6.
Дисперсия (D) вычисляется по формуле:
D = Σ((x - M)^2 * P(X = x))
где Σ - сумма по всем значениям х.
Выполним вычисления:
D = (0 - 3,6)^2 * 0,0001 + (1 - 3,6)^2 * 0,0036 + (2 - 3,6)^2 * 0,0486 + (3 - 3,6)^2 * 0,2916 + (4 - 3,6)^2 * 0,6561 = 12,96
Таким образом, дисперсия случайной величины Х равна 12,96.
Среднее квадратическое отклонение (σ) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
σ = √D = √12,96 ≈ 3,6
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х примерно равно 3,6.