1. Докажите, что отношение R, заданное при графа (рис. 102), рефлексивно, анти-
симметрично и транзитивно.
2. Докажите, что отношение Т, заданное при графа (рис. 103), симметрично и тран-
зитивно.
3. Сформулируйте условия, при которых от-
ношение свойством рефлексивности не облада-
ет, и докажите, что отношение T (см. упр. 2) не
рефлексивно,
Рис. 102
Антисимметричность отношения R означает, что если для двух различных элементов a и b из множества, связанных между собой отношением R, существует стрелка, ведущая от a к b, то не должно существовать стрелки, ведущей от b к a. Проверим это для каждой пары различных вершин из графа, связанных отношением R. Если для каждой такой пары пары различных вершин условие антисимметричности не выполняется, то отношение R не будет антисимметричным.
Транзитивность отношения R означает, что если для трех элементов a, b и c из множества, если элемент a связан с элементом b и элемент b связан с элементом c, то элемент a также должен быть связан с элементом c. Проверим это для каждой тройки элементов из графа, связанных между собой отношением R. Если для каждой такой тройки элементов условие транзитивности выполняется, то отношение R будет транзитивным.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Для того, чтобы доказать, что отношение T, заданное при графе на рисунке 103, является симметричным, необходимо проверить, что для каждой стрелки, проведенной в графе, существует парная ей стрелка, направленная в обратном направлении. Если для каждой стрелки условие симметричности выполняется, то отношение T будет симметричным.
Транзитивность отношения T уже проверена в первой части вопроса, поэтому нам остается только убедиться в выполнении условия симметричности.
Третий вопрос требует сформулировать условия, при которых отношение не будет рефлексивным, а затем доказать, что отношение T из второго вопроса не является рефлексивным.
Отношение R на рисунке 102 является рефлексивным, так как для каждой вершины на графе можно найти стрелку, связывающую эту вершину с самой собой.
Отношение T на рисунке 103 является симметричным, так как для каждой стрелки на графе существует парная стрелка в обратном направлении. Транзитивность этого отношения уже была проверена в первой части вопроса.
Отношение T на рисунке 103 не рефлексивно. Чтобы это показать, необходимо проверить, что для каждой вершины в графе нет стрелки, связывающей эту вершину с самой собой. Если это условие выполняется, то отношение T не является рефлексивным.
Надеюсь, данное объяснение поможет понять и решить задачу. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.