Question

Объем конуса равен 27см^3 На высоте конуса лежит точка и делит её
в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое
является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем
меньшего конуса.

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с основной информацией, которую нам предоставили.

1. Объем конуса равен 27 см³.

Объем конуса может быть вычислен по формуле:
V = (1/3) * π * r² * h,

где V - объем конуса, π - приближенно равно 3.14, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Давайте обозначим радиус основания большего конуса как R и его высоту как H.

Из условия задачи, мы знаем, что объем большего конуса равен 27 см³:

27 = (1/3) * π * R² * H.

Он также говорит нам, что на высоте конуса имеется точка, которая делит его в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть L - расстояние от вершины до данной точки и 2L - расстояние от этой точки до основания конуса.

Зная это, мы можем выразить радиус и высоту меньшего конуса через L:

- Радиус меньшего конуса: r = R * L / (2L) = R / 2.
- Высота меньшего конуса: h = H * L / (2L) = H / 2.

Теперь мы можем перейти к вычислению объема меньшего конуса.

Объем меньшего конуса также может быть вычислен по формуле:
V' = (1/3) * π * r'² * h',

где V' - объем меньшего конуса, r' - радиус основания меньшего конуса, h' - высота меньшего конуса.

Подставим значения радиуса и высоты меньшего конуса:

V' = (1/3) * π * (R/2)² * (H/2).

Теперь нам нужно выразить R и H через объем большего конуса. Для этого воспользуемся формулой объема большего конуса:

27 = (1/3) * π * R² * H.

Раскроем скобки в формуле для V' и подставим значения R и H:

V' = (1/3) * π * (R/2)² * (H/2)
= (1/3) * π * R²/4 * H/2
= (1/3) * π * R² * H / 8.

Теперь подставим значение объема большего конуса:

27 = (1/3) * π * R² * H.

27 = (1/3) * π * R² * H / 8.

Умножим обе стороны уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

216 = π * R² * H.

Теперь мы можем выразить R² * H через 216:

R² * H = 216 / π.

Подставим это значение в формулу для V':

V' = (1/3) * π * R² * H / 8
= (1/3) * π * (216 / π) / 8
= 216 / (3 * 8)
= 216 / 24
= 9.

Таким образом, объем меньшего конуса равен 9 см³.

Я надеюсь, что это решение ясно и понятно для тебя. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!