Question

Найти работу силы f(x,y) по перемещению материальной точки вдоль участка кривой L.

f(x,y)=3xi+3(x+2y)j

L: x=t2, y=t, 0≤t≤2 .

Answer 1

Чтобы найти работу силы f(x, y) по перемещению материальной точки вдоль участка кривой L, мы можем использовать следующий метод.

1. Определяем параметрические уравнения кривой L:
x = t^2
y = t

2. Вычисляем производные x и y по переменной t, чтобы найти dx и dy:
dx = 2t dt
dy = dt

3. Находим значений dx и dy, подставляя их в функцию f(x, y):
f(x, y) = 3x i + 3(x + 2y) j
f(x, y) = 3(t^2)i + 3((t^2) + 2t)j
f(x, y) = 3(t^2)i + 3(t^2 + 2t)j

4. Умножаем каждый компонент вектора f(x, y) на соответствующий компонент вектора перемещения dr = dx i + dy j:
f(x, y) · dr = (3(t^2) i + 3(t^2 + 2t) j) · (2t dt i + dt j)
= 6t^3 dt + 3(t^3 + 2t^2) dt
= 6t^3 dt + 3t^3 dt + 6t^2 dt

5. Интегрируем полученное выражение по переменной t в пределах от 0 до 2:
Ω = ∫(0 to 2) (6t^3 dt + 3t^3 dt + 6t^2 dt)

Здесь нам нужно интегрировать каждое слагаемое по отдельности. Рассмотрим каждый из них.

∫(0 to 2) 6t^3 dt:
Для интегрирования полинома t^n, где n - степень, мы используем формулу:
∫(0 to 2) t^n dt = (t^(n+1))/(n+1)
Применяя это к нашему случаю, получаем:
∫(0 to 2) 6t^3 dt = (6/4)(2^4 - 0^4)
= 6/4 * 16
= 24

∫(0 to 2) 3t^3 dt:
Аналогично предыдущему случаю:
∫(0 to 2) 3t^3 dt = (3/4)(2^4 - 0^4)
= 3/4 * 16
= 12

∫(0 to 2) 6t^2 dt:
Показатель степени здесь равен 2, поэтому:
∫(0 to 2) 6t^2 dt = (6/3)(2^3 - 0^3)
= 6/3 * 8
= 16

6. Теперь просто сложим интегралы:
Ω = 24 + 12 + 16
= 52

Таким образом, работа силы f(x, y) по перемещению материальной точки вдоль участка кривой L равна 52.