Пошаговое объяснение:
Решение.
Если внимательно посмотреть на уравнение, то увидим, что уравнение является обычным квадратным, у которого вместо неизвестной переменной выступает тригонометрическая функция косинус. Подобные уравнения обычно решаются методом замены этой тригонометрической функции на любую переменную. Итак, выполним следующую замену:
Пусть {\cos x\ }=z. При этом учитываем, что значения функции косинус определены на промежутке от —1 до 1. Следовательно и переменная z также может принимать только значения из указанного промежутка.
Подставим теперь вместо функции новую переменную в уравнение:
\[{2z}^2+z-1=0\]
Решаем полученное уравнение с вычисления его дискриминанта:
\[D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9\]
Находим корни:
\[z_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1-3}{4}=-1\]
\[z_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\]
Оба корня входят в промежуток от —1 до 1.
Теперь нужно вернуться от выбранной переменной к тригонометрической функции и решить полученные уравнения.
Рассмотрим первый вариант корня:
\[z_1=-1\]
\[{\cos x\ }=-1\]
\[x=\pm \left(\pi-{\arccos 1\ }\right)+2\pi k\]
\[x=\pm \left(\pi-0\right)+2\pi k\]
\[x=\pm \pi+2\pi k\]
Рассмотрим второй вариант корня:
\[z_2=\frac{1}{2}\]
\[{\cos x\ }=\frac{1}{2}\]
\[x=\pm {\arccos \frac{1}{2}\ }+2\pi n\]
\[x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n\]
Переменные n и k принадлежат множеству Z.
ответ. x=\pm \pi+2\pi k, x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n,\ k\in Z.
{2(х + у) - 3(х - у) = 3
{3(х + у) - 2(х - у) = 7
- - - - - - -
{2х + 2у - 3х + 3у = 3
{3х + 3у - 2х + 2у = 7
- - - - - - -
{5у - х = 3
{5у + х = 7
- - - - - - -
Вычтем из первого уравнения системы второе
-2х = -4
х = -4 : (-2)
х = 2
- - - - - - -
5у - 2 = 3 или 5у + 2 = 7
5у = 3 + 2 5у = 7 - 2
5у = 5 5у = 5
у = 5 : 5 у = 5 : 5
у = 1 у = 1
Вiдповiдь: (2; 1).