Question

Найти косинусы углов треугольника АВС, если A(1;-4), B(4;7), C(-2;1). Установить вид треугольника.
​

Answer 1

Чтобы найти косинусы углов треугольника АВС, мы должны сначала вычислить длины сторон треугольника, а затем использовать формулу для вычисления косинуса угла. Давайте начнем:

Шаг 1: Вычисление длин сторон треугольника
Для этого мы используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

Длина AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Длина BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
Длина AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

Для нашего треугольника АВС, последовательно подставляем координаты точек:

Длина AB = √((4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2) = √(3^2 + 11^2) = √(9 + 121) = √130
Длина BC = √((-2 - 4)^2 + (1 - 7)^2) = √((-6)^2 + (-6)^2) = √(36 + 36) = √72
Длина AC = √((-2 - 1)^2 + (1 - (-4))^2) = √((-3)^2 + (5)^2) = √(9 + 25) = √34

Шаг 2: Вычисление косинусов углов
Используем формулу косинуса угла:

cos(θ) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Где a, b и c - это длины сторон треугольника.

Косинус угла A = cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)
Косинус угла B = cos(B) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)
Косинус угла C = cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

Подставляем вычисленные значения длин сторон треугольника:

Косинус угла A = cos(A) = (72 + 34 - 130) / (2 * √34 * √72)
Косинус угла B = cos(B) = (34 + 130 - 72) / (2 * √34 * √130)
Косинус угла C = cos(C) = (130 + 72 - 34) / (2 * √130 * √72)

Вычислим значения:

Косинус угла A = cos(A) = (-24) / (2 * √34 * √72) = -24 / (2 * √(34 * 72)) = -24 / (2 * √(12 * 3 * 2 * 2 * 2)) = -3 / √12 = -√3 / 2
Косинус угла B = cos(B) = (92) / (2 * √34 * √130) = 92 / (2 * √(34 * 130)) = 92 / (2 * √(2 * 17 * 5 * 13)) = 23 / √2210
Косинус угла C = cos(C) = (56) / (2 * √130 * √72) = 56 / (2 * √(130 * 72)) = 56 / (2 * √(2 * 5 * 13 * 12)) = 7 / (2 * √390)

Шаг 3: Определение вида треугольника
Чтобы определить вид треугольника, мы можем использовать значения косинусов углов.

Если все косинусы углов положительны, то треугольник является остроугольным.
Если хотя бы один косинус угла равен нулю, то треугольник является прямоугольным.
Если хотя бы один косинус угла отрицателен, то треугольник является тупоугольным.

В нашем случае:

Косинус угла A = -√3 / 2 (отрицательное значение)
Косинус угла B = 23 / √2210 (положительное значение)
Косинус угла C = 7 / (2 * √390) (положительное значение)

Таким образом, треугольник АВС является тупоугольным треугольником.