Question

Сколько существует различных комплексных значений у числа $\sqrt[12]{(1-15i)^{24} }$?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала заметить, что у нас есть корень двенадцатой степени из числа $здесь написано (1-15i)^{24}$.

Чтобы найти все различные комплексные значения этого числа, мы можем использовать экспоненциальную форму записи комплексных чисел и воспользоваться формулой для извлечения корня комплексного числа. Формула для извлечения корня степени n из комплексного числа z в экспоненциальной форме выглядит следующим образом:

$Формула извлечения корня комплексного числа$

где r - модуль комплексного числа z, а φ - его аргумент (угол между положительным направлением оси вещественных чисел и лучом, исходящим из начала координат и указывающим на точку z).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Сначала найдем модуль числа (1 - 15i). Модуль комплексного числа является его расстоянием от начала координат до точки, представляющей это число на комплексной плоскости. Модуль числа (1 - 15i) можно найти по формуле:

|1 - 15i| = sqrt((Re(1 - 15i))^2 + (Im(1 - 15i))^2),

где Re и Im обозначают вещественную и мнимую части соответственно.

|1 - 15i| = sqrt((1)^2 + (-15)^2) = sqrt(1 + 225) = sqrt(226).

2. Теперь найдем аргумент числа (1 - 15i). Аргумент комплексного числа - это угол между положительным направлением оси вещественных чисел и лучом, исходящим из начала координат и указывающим на точку числа на комплексной плоскости. Аргумент числа (1 - 15i) можно найти по формуле:

arg(1 - 15i) = arctan(Im(1 - 15i) / Re(1 - 15i)).

arg(1 - 15i) = arctan((-15) / 1) = arctan(-15).

3. Теперь мы можем записать число (1 - 15i) в экспоненциальной форме. Для этого используем формулу:

z = r * e^(iφ),

где e - экспоненциальная константа, равная примерно 2.71828.

z = sqrt(226) * e^(i * arctan(-15)).

4. Теперь найдем двенадцатую степень числа z, используя формулу:

w = z^12 = (sqrt(226) * e^(i * arctan(-15)))^12.

Для этого мы возведем модуль числа z в двенадцатую степень и умножим его на двенадцатую степень аргумента числа z:

w = (sqrt(226))^12 * e^(i * 12 * arctan(-15)).

Модуль числа z в двенадцатой степени будет равен (sqrt(226))^12 = 226^6.

Аргумент числа z в двенадцатой степени будет равен 12 * arctan(-15).

Таким образом, мы получаем:

w = 226^6 * e^(i * 12 * arctan(-15)).

Ответ на вопрос задачи - w. Количество различных комплексных значений этого числа равно одному.