Question

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда и установить характер сходимости: ">

Answer 1

$\displaystyle\\\sum \limits^\infty_{n=1} (-1)^{n-1}\frac{2n+3}{n^2+3n+4}\\\\\\ 1) \lim_{n \to \infty} \mid a_n\mid= \lim_{n \to \infty} \mid (-1)^{n-1}\frac{2n+3}{n^2+3n+4} \mid= \lim_{n \to \infty} \mid \frac{2n+3}{n^2+3n+4} \mid =\\\\\\= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2} }{1+\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2} }=0$

$\displaystyle\\\sum \limits^\infty_{n=1}\mid (-1)^{n-1}\frac{2n+3}{n^2+3n+4} \mid=\sum \limits^\infty_{n=1}\frac{2n+3}{n^2+3n+4}\\\\\\\int\limits^\infty_1 {\frac{2n+3}{n^2+3n+4} } \, dn \\\\\\\int {\frac{2n+3}{n^2+3n+4} }dn =\{t=n^2+3n+4\}=\int\frac{1}{t}dt=\ln \mid t \mid =\ln \mid n^2+3n+4 \mid\\\\\\ \lim_{b \to \infty} \ln \mid n^2+3n+4 \mid \mid^b_{1}= \lim_{b \to \infty} (\ln(b^2+3b+4)-ln(1^2+3*1+4))=\\\\\\ = \lim_{b \to \infty} (\ln(b^2+3b+4)-\ln(8))=\infty$

Так как сам ряд является сходящимся, а модуль ряда расходится то исходный ряд сходится условно.