Question

В основании пирамиды лежит равнобедр. трапеция с углом при основании 60° и боковой стороной 6, при этом одно из оснований проходит через центр окр. Найдите V конуса, описанного около пирамиды, если высота пирамиды равна 10. В ответе укажите V/π.​

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство описанной около пирамиды окружности. В этом случае, высота пирамиды будет радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, а гипотенуза равнобедренной трапеции будет радиусом окружности, описанной около пирамиды.

Из информации в условии задачи мы знаем, что высота пирамиды равна 10. Также, у нас есть равнобедренная трапеция с углом при основании 60° и боковой стороной 6. Пусть основания трапеции равны a и b.

Для начала, найдем основания трапеции a и b.

Мы можем разделить равнобедренную трапецию на два прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников будет прямоугольным, так как его один угол равен 90°. Мы знаем, что угол при основании равен 60°, поэтому другой угол прямоугольного треугольника будет 180° - 90° - 60° = 30°.

Таким образом, мы имеем прямоугольные треугольники с гипотенузой 6 и углом 30°. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти основания a и b:

sin(30°) = a / 6
a = 6 * sin(30°) ≈ 3

cos(30°) = b / 6
b = 6 * cos(30°) ≈ 5.196

Теперь, когда у нас есть значения a и b, мы можем продолжить и найти радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

Так как трапеция равнобедренная, одно из оснований трапеции проходит через центр окружности. Поэтому радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, будет равен половине основания трапеции b.

Радиус окружности вписанной в основание пирамиды r = b / 2 = 5.196 / 2 ≈ 2.598

Теперь мы имеем радиус окружности r вписанной в основание пирамиды и высоту пирамиды h. Используем формулу для объема конуса:

V = (π * r^2 * h) / 3

Подставляем значения:

V = (π * 2.598^2 * 10) / 3
V ≈ (π * 6.744804 * 10) / 3
V ≈ (π * 67.44804) / 3

Таким образом, V/π ≈ 67.44804 / 3

Ответ: V/π ≈ 22.48268