Question

В урне находятся 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется: не менее двух белых шаров.

Answer 1

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза.

Имеем $n=3$ одинаковых независимых события, в каждом из которых то самое событие $A$ совершается с некоторой вероятностью $P(A) = \dfrac{3}{7}$ и не совершается с одинаковой вероятностью $P(\overline{A})= 1 - P(A) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$. Такую совокупность условий называют схемой Бернулли.

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ совершится ровно $k$ раз, обозначают $P_{n}(k)$

Теорема Бернулли: в схеме Бернулли с параметрами $n, \ A, \ P(A)=p, \ P(\overline{A})=q$ справедливо равенство $P_{n}(k) = C^{k}_{n} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$. Это равенство называют формулой Бернулли.

Для $k = 2$ имеем:

$P_{3}(2) = C^{2}_{3} \cdot \left(\dfrac{3}{7} \right)^{2} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^{3-2} = \dfrac{3!}{(3-2)! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9}{49} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{108}{343}$

Поскольку в задаче стоит найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется не менее двух белых шаров, то рассмотрим вероятность выбора 3 белых шаров из 3 попыток.

Для $k = 3$ имеем:

$P_{3}(3) = C^{3}_{3} \cdot \left(\dfrac{3}{7} \right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^{3-3} = \dfrac{27}{343}$

Имеем два несовместимых события, поэтому:

$P(A) = P_{2}(3) + P_{3}(3) = \dfrac{108}{343} + \dfrac{27}{343} = \dfrac{135}{343}$

ответ: $\dfrac{135}{343}$