ответ:
а) остаток при делении числа на 10 равен последней цифре этого числа.
определим, каким число заканчивается степень 3^168.
при возведении числа 3 в степень последовательно, начиная с первой, получаются числа, заканчивающиеся на 3, 9, 7, 1 и далее эта последовательность повторяется.
168 / 4 = 42, следовательно, 3^168 заканчивается цифрой 1 и остаток от деления числа 3^168 на 10 тоже 1.
б) запишем несколько первых последовательных степеней числа 5, начиная с первой:
5; 25; 125; 625;
при делении этих чисел на 6 последовательно получаются остатки от деления 5; 1; 5; 1;
значит, если 5 возводится в четную степень, то остаток деления этого числа на 6 будет равен 1.
ответ: а) 1; б) 1.
пошаговое объяснение:
5) Запишем все двузначные числа, кратные 17 или 23: 17,34,51,68,85,23,46,69,92
Заметим, что среди цифр, на которые начинаются эти числа, не хватает 7, на которую оканчивается 17. А значит если последовательность 17 и присутствует в строке, то занимает последние 2 места.
Начинается строка с 3. Единственное число из приведенных выше, начинающееся на 3, равно 34. Единственное число из приведенных выше, начинающееся на 4, равно 46.
Здесь возможны 2 случая
1. за 6 следует 8. Тогда дальше идет, аналогично предыдущим рассуждениям, 517 - но последовательность 17 может находиться только на последних двух из 2012 мест. А значит если последовательность 3468517 и присутствует, она находится на последних 7 местах.
2. за 6 следует 9. Тогда далее идёт 2346 - и снова приходим к такой же "развилке".
Повторив подобные рассуждения ещё 400 раз, получим строку, состоящую из 401 последовательности 34692.
Далее однозначно следуют цифры 346. Занято уже 3+401*5=2008 мест, осталось 4 места.
Если на 2009 место поставить 8, то далее пойдут цифры 517. Если же там поставить 9, далее пойдут цифры 234.
ответ: 4, 7
6) Пусть объем яблочного сока а, а апельсинового - в. Тогда каждый выпил по а/3 + в/5 сока, а всего сока было а+в. Тогда число людей на празднике N=(а+в)/(а/3 + в/5)=15(а/в + 1)/(5а/в + 3)
Обозначим t=а/в
N(5t+3)=15(t+1) => t(5N-15)=15-3N => t=(15-3N)/(5N-15)=(3/5) * (5-N)/(N-3).
Очевидно, t>0. Тогда 3<N<5. N, очевидно, натуральное => N=4 => t=(3/5) * 1/1=3/5
ответ: 3:5