Question

Принцып Дерехлея Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100
точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти
окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную
дугу.​

Answer 1

Предположим обратное, то есть то, что невозможно окружности совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Совместим окружности. Назовем $i$-тую точку $x_{i}$. Будем действовать следующим образом: в начальный момент хотя бы одна точка находится на дуге (пусть это точка $x_{i}$). Начнем движение одной окружности относительно другой. Как только точка $x_{i}$ сойдет с дуги, переключим внимание на другую точку $x_{j}$, которая в этот момент находится на дуге. В каждый момент считаем прибором расстояние, которое проходит точка, за которой мы наблюдаем. Поэтому мы посчитаем расстояние $s$, не превосходящее $nl$, где $n$ — количество точек, $l$ — суммарная длина дуг. С другой стороны, в любой момент прибор включен и считает расстояние. Поэтому $s$ не меньше $L$ — длины окружности. Имеем: $L\leq s\leq nl \Rightarrow nl\geq L \Rightarrow l\geq \frac{L}{n}=1$, однако $l$. Противоречие.