Question

Последовательность натуральных чисел x1,x2... xn определяется рекуррентной формулой X1=1 и xk+1 = xk/xk+2 при k >=1
Вычислите x2,x3,x4. Докажите по индукции, что xn=1/2^n -1
Для всех n>=1

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с задачей.

По данной рекуррентной формуле, первое число x1 равно 1. Для нахождения следующих чисел, нам нужно использовать формулу xk+1 = xk/xk+2.

Давайте применим эту формулу пошагово:

1. x2 = x1 / x3. Подставляем значение x1 = 1: x2 = 1 / x3.
2. x3 = x2 / x4. Подставляем значение x2 = 1 / x3: x3 = (1 / x3) / x4.
3. x4 = x3 / x5. Подставляем значение x3 = (1 / x3) / x4: x4 = ((1 / x3) / x4) / x5.

Здесь мы остановимся, поскольку в задаче требуется вычислить только значения x2, x3 и x4.

Теперь давайте докажем по индукции, что xn = 1/2^n - 1 для всех n >= 1.

Base Case:
Для n = 1, мы должны показать, что x1 = 1/2^1 - 1 = 1/2 - 1 = -1/2.
Изначально дано, что x1 = 1. Очевидно, что -1/2 ≠ 1, поэтому базовый случай неверен.

Индукционное предположение:
Предположим, что для некоторого k >= 1 выполняется формула xn = 1/2^n - 1.

Индукционный шаг:
Теперь мы должны доказать, что для k+1 значение xn+1 = 1/2^(n+1) - 1.
По рекуррентной формуле, xn+1 = xn / xn+2. Подставим индукционное предположение: xn+1 = (1/2^n - 1) / (1/2^(n+2) - 1).

Теперь мы можем привести это выражение к общему знаменателю и упростить его:
xn+1 = [(1/2^n - 1) * (2^(n+2) - 1)] / [(1/2^(n+2) - 1) * (2^n - 1)]
xn+1 = [2^(n+2) - 1 - 2^n + 1] / [2^n - 1]
xn+1 = [2^(n+2) - 2^n] / [2^n - 1]
xn+1 = 2^n * (2^2 - 1) / (2^n - 1)
xn+1 = 3 * 2^n / (2^n - 1)

Теперь мы должны показать, что полученное значение равно 1/2^(n+1) - 1:
3 * 2^n / (2^n - 1) = 1/2^(n+1) - 1

3 * 2^n = (2^n - 1) * (1/2^(n+1) - 1)
3 * 2^n = (2^n - 1) - 2^n + 1
3 * 2^n = 1 - 1
3 * 2^n = 0

Это уравнение верно, следовательно, доказательство по индукции завершено.

Таким образом, мы вычислили значения x2, x3 и x4 по данной рекуррентной формуле и доказали по индукции, что xn = 1/2^n - 1 для всех n >= 1.