Question

Упростить выражение и привести к алгебраическому виду комплексное число
Z=(2+4i)(1+i)/(1+3i)

Answer 1

Здравствуйте, я буду помогать вам с этим вопросом. Давайте начнем с упрощения выражения и приведения его к алгебраическому виду.

Для начала, давайте выполним умножение числителя (2+4i) на числитель (1+i) и знаменатель (1+3i).

(2+4i)(1+i) = 2(1+i) + 4i(1+i)
= 2 + 2i + 4i + 4i^2
= 2 + 2i + 4i - 4 (так как i^2 = -1)
= -2 + 6i

Теперь у нас есть числитель, который равен -2 + 6i. Давайте разделим его на знаменатель (1+3i).

(-2 + 6i)/(1 + 3i)

Чтобы разделить два комплексных числа, мы должны умножить их числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя. Таким образом, мы умножим числитель и знаменатель на (1 - 3i), так как это сопряженное комплексное число знаменателя (1 + 3i).

((-2 + 6i)(1 - 3i))/((1 + 3i)(1 - 3i))

Выполним умножение числителя и знаменателя:

((-2 + 6i)(1 - 3i)) = -2(1 - 3i) + 6i(1 - 3i)
= -2 + 6i + 6i - 18i^2
= -2 + 12i - 18i^2

Учтем, что i^2 = -1:

-2 + 12i - 18(-1) = -2 + 12i + 18
= 16 + 12i

Аналогично, вычислим знаменатель:

(1 + 3i)(1 - 3i) = 1 - 3i + 3i - 9i^2
= 1 - 9i^2

Опять учтем, что i^2 = -1:

1 - 9(-1) = 1 + 9
= 10

Теперь можем выполнить деление:

((-2 + 12i)/(1 + 3i)) = (16 + 12i)/10

Наконец, чтобы привести это выражение к алгебраическому виду, мы можем разделить числитель и знаменатель на 2:

(16 + 12i)/10 = 8/5 + 6i/5

Таким образом, исходное выражение (2+4i)(1+i)/(1+3i) после упрощения и приведения к алгебраическому виду равно 8/5 + 6i/5.