Чтобы решить задачу, нам понадобится использовать несколько свойств векторов и некоторые формулы. Давайте разобьем решение на несколько шагов:
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов а и b.
Скалярное произведение векторов а и b обозначается как а · b и вычисляется по формуле: а · b = |а| * |b| * cos(угол между ними).
У нас уже есть длины векторов |a| = 6 и |b| = 5, и также известно, что угол между векторами составляет π/6 или 30 градусов.
Подставляем значения в формулу: а · b = 6 * 5 * cos(π/6).
Так как cos(π/6) равно (√3)/2, получаем: а · b = 6 * 5 * (√3)/2.
Выполняем вычисления: а · b = 30 * (√3)/2.
Шаг 2: Найдем величину вектора 2a + 3b.
Величина вектора 2a + 3b обозначается как |2a + 3b| и вычисляется по формуле: |2a + 3b| = √((2a + 3b) · (2a + 3b)).
Мы уже знаем скалярное произведение а · b из предыдущего шага, поэтому можем его использовать.
Подставляем значение в формулу: |2a + 3b| = √((2a + 3b) · (2a + 3b)) = √((2a) · (2a) + 2 * 2a · 3b + (3b) · (3b)).
Упрощаем выражение: |2a + 3b| = √(4 * a · a + 12 * a · b + 9 * b · b).
Подставляем значения a · a (a вектора а с самим собой) и b · b (b вектора b с самим собой), которые равны |a|^2 и |b|^2 соответственно:
|2a + 3b| = √(4 * |a|^2 + 12 * (а · b) + 9 * |b|^2).
Подставляем найденное значение а · b в предыдущем шаге:
|2a + 3b| = √(4 * 6^2 + 12 * (30 * (√3)/2) + 9 * 5^2).
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов а и b.
Скалярное произведение векторов а и b обозначается как а · b и вычисляется по формуле: а · b = |а| * |b| * cos(угол между ними).
У нас уже есть длины векторов |a| = 6 и |b| = 5, и также известно, что угол между векторами составляет π/6 или 30 градусов.
Подставляем значения в формулу: а · b = 6 * 5 * cos(π/6).
Так как cos(π/6) равно (√3)/2, получаем: а · b = 6 * 5 * (√3)/2.
Выполняем вычисления: а · b = 30 * (√3)/2.
Шаг 2: Найдем величину вектора 2a + 3b.
Величина вектора 2a + 3b обозначается как |2a + 3b| и вычисляется по формуле: |2a + 3b| = √((2a + 3b) · (2a + 3b)).
Мы уже знаем скалярное произведение а · b из предыдущего шага, поэтому можем его использовать.
Подставляем значение в формулу: |2a + 3b| = √((2a + 3b) · (2a + 3b)) = √((2a) · (2a) + 2 * 2a · 3b + (3b) · (3b)).
Упрощаем выражение: |2a + 3b| = √(4 * a · a + 12 * a · b + 9 * b · b).
Подставляем значения a · a (a вектора а с самим собой) и b · b (b вектора b с самим собой), которые равны |a|^2 и |b|^2 соответственно:
|2a + 3b| = √(4 * |a|^2 + 12 * (а · b) + 9 * |b|^2).
Подставляем найденное значение а · b в предыдущем шаге:
|2a + 3b| = √(4 * 6^2 + 12 * (30 * (√3)/2) + 9 * 5^2).
Выполняем вычисления: |2a + 3b| = √(4 * 36 + 12 * 30 * (√3)/2 + 9 * 25).
Шаг 3: Вычислим окончательный ответ.
Выполняем оставшиеся вычисления: |2a + 3b| = √(144 + 180 * (√3) + 225).
Суммируем числа под корнем: |2a + 3b| = √(144 + 225 + 180 * (√3)).
|2a + 3b| = √(369 + 180 * (√3)).
|2a + 3b| = √(369) + √(3 * 180) (воспользуемся свойством √(a + b) = √(a) + √(b)).
Выполняем вычисления: |2a + 3b| = √(369) + √(540).
|2a + 3b| ≈ 19.21 + 23.24.
|2a + 3b| ≈ 42.45.
Таким образом, |2a + 3b| ≈ 42.45.