Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что
случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим
отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100
изготовленных.
Для начала, давайте определимся с некоторыми понятиями:
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) - это мера разброса случайной величины относительно ее среднего значения. В данной задаче, среднее квадратическое отклонение равно 0,4 мм.
Отклонение X диаметра шариков - это разница между проектным размером диаметра шарика и его фактическим размером.
Теперь давайте разберемся, как найти вероятность того, что шарик является годным.
Задача говорит нам, что отклонение X диаметра шарика от проектного размера должно быть меньше 0,7 мм по абсолютной величине.
Мы знаем, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм.
Теперь нам нужно рассчитать значение Z-оценки для значения 0,7 мм. Z-оценка показывает, сколько стандартных отклонений наше значение отклонения X диаметра шарика составляет от среднего значения.
Z = (X - μ) / σ
где Z - Z-оценка, X - значение переменной (отклонение X диаметра в нашем случае), μ - среднее значение (в данной задаче равно 0, так как мы хотим, чтобы отклонение было меньше 0,7 мм), σ - стандартное отклонение.
Z = (0,7 - 0) / 0,4 = 1,75
Теперь нам нужно найти значение в таблице стандартного нормального распределения, соответствующее Z-оценке 1,75.
Из таблицы получаем, что вероятность, что случайная величина принимает значение меньше 1,75 равна 0,9599 (или 95,99%).
Но нам нужно найти вероятность того, что отклонение X диаметра шарика будет меньше 0,7 мм, поэтому нам нужно найти вероятность слева от значения 1,75 в таблице, а затем вычесть эту вероятность из 1, чтобы получить вероятность справа от значения 1,75.
Вероятность слева от значения 1,75 равна 0,9599, значит вероятность справа от значения 1,75 будет равна 1 - 0,9599 = 0,0401 (или 4,01%).
Таким образом, вероятность того, что шарик является годным, равна 0,0401 или 4,01%.
Теперь давайте решим основной вопрос задачи.
Нам известно, что было изготовлено 100 шариков.
Чтобы найти количество годных шариков среди 100 изготовленных, мы можем умножить вероятность того, что шарик является годным на общее количество изготовленных шариков:
Количество годных шариков = Вероятность годного шарика * Количество изготовленных шариков
Количество годных шариков = 0,0401 * 100 = 4,01
Таким образом, в среднем будет годными около 4 шариков среди 100 изготовленных.