Question

1) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y = 10 ln(x+5) — 10x – 21 на отрезке [-4,5; 0].

Answer 1

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции y = 10 ln(x+5) - 10x - 21 на отрезке [-4,5; 0], нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Запишем данное уравнение.
y = 10 ln(x+5) - 10x - 21

Шаг 2: Найдем производную данной функции.
Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Производная функции y = ln(x) равна 1/x.
Имеем: y' = 10 * (1/(x+5)) - 10.

Шаг 3: Найдем критические точки.
Для этого приравняем производную функции к нулю и решим уравнение.
0 = 10 * (1/(x+5)) - 10
10 = 1/(x+5)
1/(x+5) = 10
x + 5 = 1/10
x = 1/10 - 5
x = -49/10

Шаг 4: Определим значения функции на границах отрезка [-4,5; 0].
Вычислим y при x = -4,5 и x = 0.
y(-4,5) = 10 ln((-4,5)+5) - 10*(-4,5) - 21
y(-4,5) = 10 ln(0,5) + 45 - 21
y(-4,5) ≈ 10 * (-0,693) + 45 - 21 ≈ -6,93 + 45 - 21 ≈ 16,07

y(0) = 10 ln(0+5) - 10*0 - 21
y(0) = 10 ln(5) - 21
y(0) ≈ 10 * 1,609 - 21 ≈ 16,09 - 21 ≈ -4,91

Шаг 5: Определим наименьшее и наибольшее значение функции.
Наименьшее значение функции на отрезке [-4,5; 0] достигается в одном из следующих мест: критическая точка x = -49/10 или на границе отрезка x = -4,5.
Наибольшее значение функции достигается в остальных местах на отрезке.

Подставим значения x = -49/10, x = -4,5 и x = 0 в уравнение функции и найдем соответствующие значения y.

y(-49/10) = 10 ln((-49/10)+5) - 10*(-49/10) - 21
y(-49/10) = 10 ln(1/10) + 49 - 21
y(-49/10) ≈ 10 * (-2,303) + 49 - 21 ≈ -23,03 + 49 - 21 ≈ 4,97

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-4,5; 0] равно примерно 4,97, а наибольшее значение равно примерно 16,09.

Итак, наименьшее значение функции y = 10 ln(x+5) - 10x - 21 на отрезке [-4,5; 0] равно примерно 4,97, а наибольшее значение равно примерно 16,09.