Question

Найдите угол между прямыми:
3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0

Answer 1

55,5°.

Пошаговое объяснение:

Задание.

Найдите угол между прямыми:

3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0

Решение.

1-й

Физический смысл коэффициента при х состоит в том, что он является арктангенсом угла наклона прямой к оси х.

3x+2y-4=0 ⇒ 2y =4-3х, у = -1,5х+2;

5x-2y+17=0 ⇒ 2y = 5x+17, у = 2,5х +8,5.  

Арктангенс -1,5 равен - 56,3°, следовательно, прямая у = -1,5х+2 образует с осью х угол - 56,3°.

Арктангенс 2,5 равен 68,2° следовательно, прямая у = 2,5х + 8,5 образует с осью х угол 68,2°.

Соответственно больший угол между прямыми у = -1,5х+2 и у =2,5х+8,5  равен: 56,3+68,2= 124,5°, а меньший угол равен: 180-124,5 = 55,5°.

ответ: 55,5°.

2-й

Прямая 3x+2y-4=0 имеет нормальный вектор n1={A₁, B₁}={3, 2} и свободный член -4 .

Прямая 5x-2y+17=0 имеет нормальный вектор n2={A₂, B₂}={5, −2} и свободный член 17.

Угол между прямыми 3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0 - это угол между векторами n1 и n2.

Скалярное произведение векторов равно:

(n1, n2)=|n1||n2|cosφ, где φ - угол между векторами, откуда  

cosφ = ( А₁А₂+В₁В₂)/(√(A₁²+B₁²))* (√(A₂²+B₂²)) =

= (3*5+2*(-2)) /√(3²+2²))* (√5²+(-2)²)) = 11/(3,6056*5,3852) = 0,5665

φ = arccos (0,5665) = 55,5°.

ответ: 55,5°.