Question

Бак водонапорной башни наполняется при основного насоса за 2,5 ч быстрее, чем при запасного насоса. Если включить оба насоса, то бак наполняется за 3 ч. За какое время наполняется бак, если будет работать только основной насос?

Answer 1

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться методом "обратной величины", который позволяет определить время, за которое каждая из насосных систем наполняет бак водой.

Пусть основной насос наполняет бак за t часов, а запасный насос — за (t + 2,5) часов. Тогда за одну час работы основного насоса наполняется 1/t часть бака, а за одну час работы запасного насоса — 1/(t + 2,5) часть бака.

Согласно условию, если включить оба насоса, то бак наполняется за 3 часа. Запишем это в виде уравнения:

1/t + 1/(t + 2,5) = 1/3.

Для решения данного уравнения выполним следующие действия:

1. Умножим обе части уравнения на t(t + 2,5), чтобы избавиться от знаменателей:
t(t + 2,5) * (1/t + 1/(t + 2,5)) = t(t + 2,5) * 1/3,
t + 2,5 + t = t(t + 2,5)/3.

2. Раскроем скобки и упростим уравнение:
2t + 2,5 = (t^2 + 2,5t)/3.

3. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
6t + 7,5 = t^2 + 2,5t.

4. Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим уравнение:
t^2 - 3,5t - 7,5 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

1. Найдем дискриминант D:
D = (-3,5)^2 - 4 * 1 * (-7,5),
D = 12,25 + 30 = 42,25.

2. Найдем корни уравнения:
t1 = (-(-3,5) + sqrt(42,25)) / (2 * 1) = (3,5 + 6,5) / 2 = 10 / 2 = 5,
t2 = (-(-3,5) - sqrt(42,25)) / (2 * 1) = (3,5 - 6,5) / 2 = -3 / 2.

Ответ: t = 5 часов.

Таким образом, если будет работать только основной насос, то бак будет заполняться в течение 5 часов.