Л е м м а: Пусть -- сумма цифр числа . Тогда , если длина не превосходит . Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число как , а разность считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число . Возьмем число , тогда его частное с первым числом равно . Умножим в таком случае на . Длина числа меньше для всех , кроме (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме .
= 5 35/60 - 2 48/60 = (так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то у уменьшаемого одну единицу представляем в виде дроби 60/60)
= 4 (35+60)/60 - 2 48/60 = (из целой части вычитаем целую, из дробной - дробную) = (4 - 2) + (95/60 - 48/60) = 2 47/60
когда дроби сразу переводят в неправильные: 5 7/12 - 2 4/5 = 67/12 - 14/5 - не всегда применим, так как целые части чисел могут быть достаточно большие, например: 8245 24/87 = 717339/87 и производить действия с такими большими числами неудобно.
Л е м м а: Пусть
-- сумма цифр числа 
. Тогда 
, если длина 
не превосходит 
. Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число
как 
, а разность 
считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число
. Возьмем число 
, тогда его частное с первым числом равно 
. Умножим в таком случае 
на 
. Длина числа 
меньше 
для всех 
, кроме 
(что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме ![\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)](/tpl/images/4768/2810/100d4.png)
.