Понятие множества Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий. Теория множеств – это раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основатель научной теории множеств – немецкий математик Георг Кантор. Определение. Множеством называется совокупность, набор и т. д. однотипных элементов, воспринимаемых как единое целое. Множества обозначают большими латинскими буквами. Например, А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, В = {1, 2, 7}, С = {1, 2, 3, 4, …, n, …}. Все предметы, составляющие множества, называются элементами множества. Элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами. Например, если элемент х принадлежит множеству К, то пишут хК, если элемент х не принадлежит множеству К, то пишут хК. Есть множество, в котором нет ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают Ø. Множество может быть конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным, если оно содержит бесконечно много элементов. Примером конечного множества может служить множество дней недели, примером бесконечного множества – множество натуральных чисел. Из школьного курса вам известны примеры бесконечных числовых множеств – множеств натуральных(N), целых(Z), рациональных(Q), иррациональных(I) и действительных чисел (R). Множество может быть задано: • перечислением. Например, К = {2, 4, 20, 40}; • характеристическим свойством, т.е. свойством, характерным только для элементов этого множества. Например, . Из элементов множества А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, например, можно составить новое множество М = {Петя, Маша}. Оно характеризуется тем, что все элементы М принадлежат множеству А. Говорят, что М – подмножество множества А и пишут М А. Множество М является подмножеством множества А, если всякий элемент множества М является элементом множества А и обозначают МА. Например, множество всех первокурсников является подмножеством множества всех студентов.
Для любого множества А справедливо: 1) Само множество является своим подмножеством, т.е. А А. 2) Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. Ø А. Пример: Сколько можно составить подмножеств множества В? 1. В = {0, 1}, тогда {0}В, {1}В, ØВ, {0, 1}В – четыре. 2. В = {1, 2, 3}, тогда {1}В, {2}В, {3}В, {1, 2}В, {1, 3}В, {2, 3}В, ØВ, {1, 2, 3}В – восемь. Можно доказать, что если в множестве n элементов, то оно имеет 2n подмножеств. Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. А также множества А и В равны, если А В и В А. Пусть А={2, 1, 3}, a В = {1, 2, 3} тогда А= В.
Примеры. 1) Пусть А – множество канцелярских товаров в аудитории, В –множество шариковых ручек в аудитории, тогда B ⊂ A. 2) Перечислим все подмножества множества A = {1; 2; 3}: {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, ∅ . Замечания. 1. Если A = B , то B A, A⊂ B. 2. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅ ⊂ A. 3. Знак ⊂ можно ставить только между множествами: B ⊂ A, ∅ ⊂ A. 4. Знак ∈ можно ставить только между элементом множества и самим множеством: a∈{a; b; c}. Операции над множествами, их свойства Пусть все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовём универсальным и обозначим буквой U. Для геометрической иллюстрации операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а остальные множества – в виде овалов, в частности кругов. Введём операции над множествами.
1) а) 5/6 и 3/4 НОЗ (12) 10/12 и 9/12 б) 7/8 и 5/6 НОЗ(24) 21/24 и 20/24 в) 5/28 и 9/14 НОЗ(28) 5/28 и 18/28 г) 3/7 и 9/4 НОЗ(28) 12/28 и 63/28 д) 13/16 и 11/12 НОЗ(48) 39/48 и 44/48 е) 3/4, 4/21 и 5/6 НОЗ(84) 63/84, 16/84 и 70/84
2) а) 9/10 и 7/20 приводим к НОЗ(20) и получаем 18/20 > 7/20 б) 4/9 и 10/27 приводим к НОЗ(27) и получаем 12/27 > 10/27 в) 3/10 и 4/15 приводим к НОЗ(30) и получаем 9/30 > 8/30 г) 6/7 и 2/3 приводим к НОЗ(21)и получаем 18/21 > 14/21 д) 7/15 и 19/40 приводим К НОЗ(120) и получаем 56/120 < 57/120 е) 13/18 и 23/42 приводим к НОЗ(126) и получаем 91/126 > 69/126
3) Приведем все числа к НОЗ(60) и получим 45/60, 25/60, 16/60, 21/60 расположим их по возрастанию 16/60, 21/60, 25/60, 45/60 (они же в первоначальном виде 4/15, 7/20, 5/12, 3/4
□-21м
□-?, в 2 раза больше чем "1 картинка" } 125м
□-?м
1) 21×2=42 (м)
2) 21+42=63 (м)
3) 125-63=62 (м)
ответ: 62 машины