Чтобы найти переходную функцию h(t) по известной функции веса W(t), нам необходимо сначала определить, что такое переходная функция и функция веса.
Переходная функция характеризует поведение системы при изменении входного сигнала. Она показывает, как система реагирует на мгновенное изменение входного сигнала и как входной сигнал влияет на выход системы с течением времени.
Функция веса является частью переходной функции и описывает, как входной сигнал "взвешен" (или преобразован) системой перед тем, как получиться окончательный выходной сигнал.
Теперь давайте перейдем к решению задачи. Для нахождения переходной функции h(t), нам дана функция веса W(t), изображение которой представлено на рисунке.
1. Начнем с определения выражения для функции веса W(t). Рассмотрим, что значит каждая часть графика:
- Для t < 0 функция веса W(t) равна нулю. Это означает, что система еще не была запущена до момента времени t=0.
- В начальный момент времени t=0 функция веса резко возрастает до значения W(0). Это может означать, что в момент времени t=0 система получает какой-то входной сигнал.
- После момента времени t=0 функция веса плавно убывает до нуля по экспоненциальному закону. Это говорит о том, что входной сигнал постепенно исчезает с течением времени.
2. Теперь необходимо выразить функцию веса W(t) математически, чтобы найти переходную функцию. Для этого разобьем функцию веса на три участка, учитывая описание выше:
- Для t < 0: W(t) = 0
- В начальный момент времени t=0: W(t) = W(0)
- После момента времени t=0: W(t) = W(0) * e^(-αt), где α - коэффициент затухания (отрицательное число)
3. Теперь найдем переходную функцию h(t) с использованием функции веса W(t). Переходная функция может быть найдена с помощью формулы:
h(t) = ∫[0, t] W(τ) dτ, где ∫ означает интеграл, [0, t] - интервал интегрирования
С помощью данной формулы мы найдем переходную функцию h(t) путем интегрирования функции веса W(τ) от 0 до t.
4. Применим формулу для каждого из трех участков функции веса W(t) и проинтегрируем:
- Для t < 0: h(t) = ∫[0, t] 0 dτ = 0, так как функция веса равна нулю на данном участке.
- В начальный момент времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) dτ = ∫[0, t] W(0) dτ = W(0) * t, так как функция веса постоянна на данном участке.
- После момента времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) * e^(-ατ) dτ
Для нахождения значения данного интеграла существует специальный математический метод, называемый методом экспоненциального интегрирования. Этот метод позволяет нам найти аналитическое выражение для переходной функции.
Переходная функция характеризует поведение системы при изменении входного сигнала. Она показывает, как система реагирует на мгновенное изменение входного сигнала и как входной сигнал влияет на выход системы с течением времени.
Функция веса является частью переходной функции и описывает, как входной сигнал "взвешен" (или преобразован) системой перед тем, как получиться окончательный выходной сигнал.
Теперь давайте перейдем к решению задачи. Для нахождения переходной функции h(t), нам дана функция веса W(t), изображение которой представлено на рисунке.
1. Начнем с определения выражения для функции веса W(t). Рассмотрим, что значит каждая часть графика:
- Для t < 0 функция веса W(t) равна нулю. Это означает, что система еще не была запущена до момента времени t=0.
- В начальный момент времени t=0 функция веса резко возрастает до значения W(0). Это может означать, что в момент времени t=0 система получает какой-то входной сигнал.
- После момента времени t=0 функция веса плавно убывает до нуля по экспоненциальному закону. Это говорит о том, что входной сигнал постепенно исчезает с течением времени.
2. Теперь необходимо выразить функцию веса W(t) математически, чтобы найти переходную функцию. Для этого разобьем функцию веса на три участка, учитывая описание выше:
- Для t < 0: W(t) = 0
- В начальный момент времени t=0: W(t) = W(0)
- После момента времени t=0: W(t) = W(0) * e^(-αt), где α - коэффициент затухания (отрицательное число)
3. Теперь найдем переходную функцию h(t) с использованием функции веса W(t). Переходная функция может быть найдена с помощью формулы:
h(t) = ∫[0, t] W(τ) dτ, где ∫ означает интеграл, [0, t] - интервал интегрирования
С помощью данной формулы мы найдем переходную функцию h(t) путем интегрирования функции веса W(τ) от 0 до t.
4. Применим формулу для каждого из трех участков функции веса W(t) и проинтегрируем:
- Для t < 0: h(t) = ∫[0, t] 0 dτ = 0, так как функция веса равна нулю на данном участке.
- В начальный момент времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) dτ = ∫[0, t] W(0) dτ = W(0) * t, так как функция веса постоянна на данном участке.
- После момента времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) * e^(-ατ) dτ
Для нахождения значения данного интеграла существует специальный математический метод, называемый методом экспоненциального интегрирования. Этот метод позволяет нам найти аналитическое выражение для переходной функции.