Question

Применяя указанные подстановки, найти следующие интегралы: 1) ∫x(5x^2-3)^7dx, 5x^2-3=t
2) ∫xdx/(sqrt(x+1)), (sqrt(x+1))=t
3) cos xdx /(1+sin^(2)x), sin x = t

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

t=5$x^{2}$-3

dt=5x*dx

dx=$\frac{dt}{5x}$

$\int\limit {xt^7} \, \frac{dt}{5x}$ = $\int\limit {\frac{t^7}{5} } \, dt$ = $\frac{t^{8} }{40}$ + C

2)

t=$\sqrt{x+1}$

dt=$\frac{dx}{2\sqrt{x+1} }$

dx=2$\sqrt{x+1}$dt

$\int\limit {\frac{x}{\sqrt{x+1} } } \, dx$ = $\int\limit {2x} \, dt$ = $\int\limit {2(t^2-1)} \, dt$ = $\frac{2t^3}{3}$-2t+C

3)

t = sin x

dt = cos(x)dx

dx=$\frac{dt}{cos(x)}$

$\int\limit {\frac{cos(x)}{1+sin^2x} } \, dx$ = $\int\limit {\frac{1}{1+t^2} } \, dt$= arctg(t)+C