Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.
1) a делится на p;
Тогда используя сравнения запишем:
a ≡ 0 (mod p);
ap ≡ 0 (mod p);
Или ap ≡ a (mod p).
В этом случае теорема доказана.
2) a не делится на p;
Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*).
Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0.
Докажем от обратного.
Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k> n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа (*) могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишем это:
a ≡ r1 (mod p);
2a ≡ r2 (mod p);
...
(p - 1)a ≡ rp - 1 (mod p);
Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)!
ap - 1(p - 1)! ≡ (p - 1)! (mod p);
(ap - 1 - 1)(p - 1)! ≡ 0 (mod p);
Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p.
(ap - 1 - 1) ≡ 0 (mod p);
ap - 1 ≡ 1 (mod p);
ap ≡ a (mod p);
Что и требовалось доказать.
дано:
abc - треугольник
mnk- треугольник
найти: p-?
Пошаговое объяснение:
тр AMK=тр MNK( по 2 признаку равенства треугольников)
MK - общая сторона
угол AMK = угол KMN
угол MKA = угол MKN
треугольник NCK = треугольник MNK
( по 2 признаку равенства треугольников)
NK - общая сторона
угол NKM = угол NKC
угол KNM = угол CNK
треугольник BMN = треугольник MNK
( по 2 признаку равенства треугольников)
MN - общая сторона
угол BMN = угол NMK
угол BNM = угол KNM
треугольник MBN = треугольник NCK = треугольник MAK = треугольник MNK (по 2 признаку)
P= тр MBN + NCK + тр MAK + тр MNK = 4 тр MNK =
4 * 22,2 = 88,8 см^2
ответ: 88,2 см^2