Question

Медиана am и биссектриса cd прямоугольного треугольника abc угол b=90 пересекаются в точке o. найдите площади треугольника abc, если co=9, od=5.

Answer 1

Чертеж во вложении.
1. Проведем через вершину С прямую, параллельную катету АВ. Пусть F - точка пересечения этой прямой с продолжением медианы АМ за точку М.
2. ∆АДО и ∆ОСF подобны по двум углам (отмечены дугами). Отсюда равенство:
$\dfrac{AO}{OF}=\dfrac{DO}{OC}=\dfrac{AD}{CF}\\\\ m.k.\ \ CF=AB,\ mo\ \ \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DO}{OC}=\dfrac{5}{9}$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
$\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{AC}{5}=\dfrac{BC}{9-5}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4}{5}$
Пусть t - коэффициент пропорциональности. АС=5t, BC=4t.
По теореме Пифагора в ∆АВС 
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{25t^2-16t^2}=\sqrt{9t^2}=3t$
Отсюда следует, что стороны ∆АВС относятся как АВ:ВС:АС=3:4:5.
Обозначим теперь ∠DCB=a (альфа), тогда cos ∠ACB = cos 2a = BC/AC=4/5.
Из тригонометрических формул получим
$cos\ \alpha=\sqrt{\frac{1+cos\ 2\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$
Имеет место формула биссектрисы через стороны треугольника:
$DC=\dfrac{2BC*AC}{BC+AC}cos \frac{\angle ACB}{2}= \dfrac{2*4t*5t}{4t+5t}*\dfrac{3}{\sqrt{10}} \\ \dfrac{120t^2}{9t}*\dfrac{3}{\sqrt{10}} =14\\ t^2=\dfrac{21^2}{40}\\ S_{ABC}=\frac{1}{2}*3t*4t=6t^2=6*\frac{21^2}{40}=\frac{1323}{20}\\\\ Ombem: \frac{1323}{20}$