Question

Задачи на производные
кто чем может

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. производные

(5x³-3x⁹)' = 5*3x² -3*9x⁸ = 15x² -27x⁸

$\displaystyle (6\sqrt[3]{x} +4\sqrt{x} )' = (6x^{1/3} +4x^{1/2})'=6\frac{1}{3}x^{-2/3} +4\frac{1}{2\sqrt{x} } =\frac{2}{x^{2/3}} +\frac{2}{\sqrt{x} }$

$\displaystyle \bigg (\frac{x^2+2x-3}{x} \bigg )'=(x+2-\frac{3}{x} )'=1+0+\frac{3}{x^2} =1+\frac{3}{x^2}$

$\displaystyle \bigg (\frac{1}{6} x^3-\frac{1}{2} x^2-3x+2\bigg )' = \frac{1}{6} 3x^2-\frac{1}{2} 2x-3+0=\frac{x^2}{2} -x-3$

$\displaystyle \bigg (\frac{4-3x}{x+2} \bigg)' = \frac{(4-3x)'(x+2)-(4-3x)(x+2)'}{(x+2)^2} =\frac{-3(x+2)-(4-3x)}{(x+2)^2} =$

$\displaystyle =\frac{-3x-6-4+3x}{(x+2)^2} =-\frac{10}{(x+2)^2}$

(e⁻⁵ˣ)' = -5e⁻⁵ˣ

$\displaystyle ( x*2^x)' = x'*2^x+x(2^x)' = 2^x+x2^xln(2)$

2.

$\displaystyle f'(x) = (2x-3)'\sqrt{x} +(2x-3)\sqrt{x} )' = 2\sqrt{x} +\frac{2x-3}{2\sqrt{x} }$

$\displaystyle f'(1)+f(1) = 2\sqrt{1} +\frac{2*1-3}{2\sqrt{1} } +(2*1-3)\sqrt{1 }=\frac{1}{2}$

3. уравнение касательной

$\displaystyle y_k = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

f'(x) = -2x+6

f(x₀) = f(-2) = -8

f'(x₀) = f'(-2) = 10

$\displaystyle y_k = -8+10(x-(-2))$

или

$\displaystyle y_k = 10x+12$

5.

для всего ниже потребуется производная

f'(x) = (x³-2x²+x+3)' = 3x² -4x +1

а) стационарные точки

3x² -4x +1 = 0 ⇒  x₁ = 1;  x₂ = 1/3

б) экстремумы

f(1) = 3  - минимум

f(1/3) = 85/27 максимум

в) возрастание и убывание

по стационарным точкам получили три интервала

смотрим на каждом значение производной и определяем возрастание или убывание функции

(-∞ ;1/3)  f'(0) =1 > 0  функция возрастает

(1/3; 1)    f'(2/3) = -1/3  < 0 функция убывает

(1; +∞)    f'(10) = 261 > 0  функция возрастает

г) график прилагается (таблицу уже сами построите)