Question

Найти область сходимости ряда

Answer 1

Чтобы найти область сходимости ряда, мы должны определить значения x, при которых ряд сходится.

Для начала, давайте рассмотрим данный ряд:

∑((x-2)^n / n^2)

Мы знаем, что для сходимости ряда с необходимым условием, пределов его членов должен быть равен нулю:

lim(n→∞) ((x-2)^n / n^2) = 0

Теперь давайте разберемся, при каких значениях x, этот предел будет равен нулю.

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон выражения:

ln(lim(n→∞) ((x-2)^n / n^2)) = ln(0)

ln(lim(n→∞) ((x-2)^n)) - ln(n^2) = ln(0)

Теперь мы можем использовать свойства логарифма:

lim(n→∞) (n ln(x-2)) - 2ln(n) = -∞

Теперь нам нужно найти значения x, при которых левая часть выражения равна -∞.

Чтобы облегчить вычисления, давайте заменим lim(n→∞) (n ln(x-2)) на L:

L - 2ln(n) = -∞

Теперь избавимся от ln(n):

L = 2ln(n)

e^L = e^(2ln(n))

e^L = n^2

Теперь мы можем записать это равенство в виде неравенства:

e^L > 0

n^2 > 0

Мы знаем, что n^2 всегда больше нуля, поэтому можно сказать, что e^L должно быть больше нуля.

Теперь давайте рассмотрим различные случаи:

1. Если L > 0, тогда e^L > 0. Это означает, что ряд сходится для любого x.

2. Если L < 0, тогда e^L < 0, что невозможно. Значит, ряд не сходится.

3. Если L = 0, тогда e^L = 1 > 0. Это означает, что ряд сходится для любого x.

Таким образом, мы можем сказать, что область сходимости ряда состоит из всех значений x, то есть (-∞, +∞).