Question

Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор i=3i-4j и точка A(3:2). Найти: dz/zi, grad z (А). Задание в фото. ХЭЛП

Answer 1

Пошаговое объяснение:

z= x² -y² +5x +4y   i = 3i -4j  A(3;2)

$\displaystyle grad (z ) = z'_xi+z'_yj$

$\displaystyle z'_x=2x+5\qquad z'_x_{(3;2)} =11$

$\displaystyle z'_y=-2y+4\qquad z'_y_{(3;2)} =0$

grad z = (2x+5)i +(4-2y)j

$\displaystyle grad (z)_{(3;2)} = (2*3+5)i +(4-2*2)j=11i +0j$

$\displaystyle |grad(z)|_{(3;2)}=\sqrt{z'_x_{(3;2)}+z'_y_{(3;2)}} =\sqrt{11^2+0^2} =11$

теперь надо градиент по направлению вектора. надо найти направляющие косинусы

$\displaystyle cos\alpha =\frac{z'_x}{|grad(z)_{(3;2)}|} =\frac{11}{11} =1$

$\displaystyle cos\beta =\frac{z'_y}{|grad(z)_{(3;2)}|} =\frac{0}{11} =0$

по градиенту всё

теперь производная

$\displaystyle z'_i = z'_xcos \varphi+z'_ycos \theta$

частные производные уже есть, найдес направляющие косинусы

$\displaystyle cos \varphi = \frac{x}{|i|} \qquad cos \theta = \frac{y}{|i| }$

$\displaystyle |i|=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{25} =5$

$\displaystyle cos \varphi = \frac{x}{|i|}=\frac{3}{5}=0.6 \qquad cos \theta = \frac{y}{|i| }= -\frac{4}{5} =-0.8$

и вот наконец

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta i} \bigg |_A=z'_i_{(3;2)}= 11*0.6 +0* (-0.8) = 0.66$