Question

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y=Ф(x) при x=xn с точностью до двух знаков после запятой: $y''=2sinx cos^{2} x,x0=\pi /2,y(0)=-5/9,y'(0)=-2/3$

Answer 1

Чтобы решить это дифференциальное уравнение и найти частное решение, мы будем использовать метод вариации постоянных.

Для начала, нам необходимо найти общее решение однородного уравнения y'' = 2sin(x)cos^2(x). Для этого заменим y'' на m^2:

m^2 = 2sin(x)cos^2(x)

Решим это уравнение для m:

m^2 - 2sin(x)cos^2(x) = 0

Формула для решения квадратного уравнения имеет вид:

m = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 1, b = 0, c = -2sin(x)cos^2(x).

Подставляем значения в формулу и решаем:

m = (0 ± √(0 - 4(1)(-2sin(x)cos^2(x)))) / (2(1))
= (√(8sin(x)cos^2(x))) / 2
= (√(4sin(x)cos^2(x)))
= 2√(sin(x)cos^2(x))
= 2cos(x)√(sin(x))

Итак, у нас есть два значения m: 2cos(x)√(sin(x)) и -2cos(x)√(sin(x)).

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения в виде:

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x),

где y1(x) и y2(x) - это функции, соответствующие значениям m.

y1(x) = sin(x), y2(x) = cos(x),

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y(x) = c1sin(x) + c2cos(x).

Теперь нам необходимо найти частное решение неоднородного уравнения и найти значения коэффициентов c1 и c2. Для этого нам нужно использовать начальные условия.

Даны начальные условия:
y(0) = -5/9,
y'(0) = -2/3.

Подставляем значения x=0 и y= -5/9 в уравнение общего решения:

-5/9 = c1sin(0) + c2cos(0)
-5/9 = c2.

Теперь находим производную y'(x) и подставляем значения x=0 и y' = -2/3:

y'(x) = c1cos(x) - c2sin(x).

-2/3 = c1cos(0) - c2sin(0)
-2/3 = c1.

Итак, мы нашли значения коэффициентов c1 и c2:
c1 = -2/3,
c2 = -5/9.

Теперь мы можем записать частное решение дифференциального уравнения в виде:

y(x) = (-2/3)sin(x) - (5/9)cos(x).

Наконец, мы можем вычислить значение функции y = Ф(x) при x=xn с точностью до двух знаков после запятой. Подставим значение x=xn в частное решение:

y(xn) = (-2/3)sin(xn) - (5/9)cos(xn).

Вычисляем значение функции с помощью тригонометрических функций научного калькулятора, подставляя значение xn и округляя до двух знаков после запятой.