Question

Найдите z6 в показательной форме z = 1/2 + i [tex]найдите z6 в показательной форме z = 1/2 + i корень из 3 /2

Answer 1

$z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
По формуле Муавра

$z=\rho(cos\varphi+i\sin\varphi)$

Здесь $\rho=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

$\rho=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

$\rho=1$

 В данном случае формула принимает вид

$z=cos\varphi+i\sin\varphi$

Теперь вычислим $\cos\varphi$

$\cos\varphi=\frac{\frac{1}{2}}{\rho}$

$\cos\varphi=\frac{\frac{1}{2}}{1}$
$\cos\varphi=\frac{1}{2}$

$\varphi=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi*n,\quad n\in Z\quad (1)$

То же самое с синусом

$\sin\varphi=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\rho}$

$\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\varphi=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi*k,\quad k\in Z\quad(2)$

Учитывая, формулы (1) и (2) получаем, что угол $\varphi$ может принадлежать только первой четверти.

То есть $\varphi =\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in Z$

 В данном случае подставим в формулу Муавра

$z=e^{i\frac{\pi}{3}}$

$z^6=e^{6*i\frac{\pi}{3}}$

$z^6=e^{2\pi i}$

По формуле Муавра

$e^{2\pi*i}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i*0=1$

Значит $z^6=1$.

ответ: 1.