ответ: 5/41*e^(4*x)*sin(5*x)+4/41*e^(4*x)*cos(5*x)+C.
Пошаговое объяснение:
Обозначим искомый интеграл через I(x) и применим к нему метод интегрирования "по частям". Пусть u=e^(4*x) и dv=cos(5*x)*dx, тогда du=4*e^(4*x)*dx и v=1/5*sin(5*x). Отсюда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx. Пусть I1(x)=∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx, тогда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*I1(x). Для нахождения I1(x) положим u=e^(4*x) и dv=sin(5*x)*dx. Тогда du=4*e^(4*x)*dx, v=-1/5*cos(5*x) и I1(x)=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*∫e^(4*x)*cos(5*x)*dx=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x). Таким образом, мы получили уравнение: I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*[-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x)], или 41/25*I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)+4/25*e^(4*x)*cos(5*x). Отсюда I(x)=5/41*e^(4*x)*sin(5*x)+4/41*e^(4*x)*cos(5*x)+C.
Дана функция f(x) = -2x³ - 7x² - 36.
Находим её производную: y ' = -6x² - 14x.
Приравняем производную нулю: -6x² - 14x = -2x(3x + 7) = 0.
Отсюда определяем критические точки: х1 = 0 и х2 = (-7/3).
Выясняем характер этих точек по знакам производной левее и правее точки.
x = -3 -7/3 -1 0 1
y' = -12 0 8 0 -20.
Имеем 3 промежутка монотонности функции:
(-∞; (-7/3)), ((-7/3); 0), (0; +∞).
Где производная положительна - там функция возрастает: ((-7/3); 0),
где производная отрицательна - там функия убывает: (-∞; (-7/3)), (0; +∞).
