Question

Математический анализ, интегралы

Answer 1

$a)\ \displaystyle \int \limits _0^1\frac{x+1}{x^2+1}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\frac{2x\, dx}{x^2+1}+\int\limits_0^1\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\cdot ln|x^2+1|\Big|_0^1+arctgx\Big|_0^1=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot (ln2-ln1)+arctg1-arctg0=ln\sqrt2+\frac{\pi}{4}$

$b)\ \displaystyle \int\limits_{e}^{e^2}\frac{dx}{x\cdot (lnx)^2}=\int\limits_{e}^{e^2}\frac{1}{(lnx)^2}\cdot \frac{dx}{x}=\int\limits_{e}^{e^2}\frac{1}{(lnx)^2}\cdot d(lnx)=\frac{(lnx)^{-1}}{-1}\Big|_{e}^{e^2}=\\\\\\=-\frac{1}{lnx}\Big|_{e}^{e^2}=-\Big(\frac{1}{lne^2}-\frac{1}{lne}\Big)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$